MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Structured version   Unicode version

Theorem isfbas2 17869
Description: The predicate " F is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 17863 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) ) ) ) )
2 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( z  e.  F  /\  z  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
43elpw 3807 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  z  C_  ( x  i^i  y
) )
54anbi2i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  F  /\  z  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
62, 5bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
76exbii 1593 . . . . . 6  |-  ( E. z  z  e.  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  E. z ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
8 n0 3639 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
9 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  F  z 
C_  ( x  i^i  y )  <->  E. z
( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
107, 8, 93bitr4i 270 . . . . 5  |-  ( ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
11102ralbii 2733 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
12113anbi3i 1147 . . 3  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) )  <->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1312anbi2i 677 . 2  |-  ( ( F  C_  ~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) ) )  <-> 
( F  C_  ~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
141, 13syl6bb 254 1  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    e. wcel 1726    =/= wne 2601    e/ wnel 2602   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   ` cfv 5456   fBascfbas 16691
This theorem is referenced by:  fbasssin  17870  fbun  17874  opnfbas  17876  isfil2  17890  fsubbas  17901  fbasrn  17918  rnelfmlem  17986  metustfbasOLD  18597  metustfbas  18598  tailfb  26408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-fbas 16701
  Copyright terms: Public domain W3C validator