MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfbas2 Unicode version

Theorem isfbas2 17530
Description: The predicate " F is a filter base." (Contributed by Jeff Hankins, 1-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfbas2  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isfbas2
StepHypRef Expression
1 isfbas 17524 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) ) ) ) )
2 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( z  e.  F  /\  z  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
3 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
43elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  z  C_  ( x  i^i  y
) )
54anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  F  /\  z  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
62, 5bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
76exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. z  z  e.  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  E. z ( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
8 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
9 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  F  z 
C_  ( x  i^i  y )  <->  E. z
( z  e.  F  /\  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
107, 8, 93bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
11102ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
12113anbi3i 1144 . . 3  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) )  <->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1312anbi2i 675 . 2  |-  ( ( F  C_  ~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( F  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/) ) )  <-> 
( F  C_  ~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
141, 13syl6bb 252 1  |-  ( B  e.  A  ->  ( F  e.  ( fBas `  B )  <->  ( F  C_ 
~P B  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255   fBascfbas 17518
This theorem is referenced by:  fbasssin  17531  fbun  17535  opnfbas  17537  isfil2  17551  fsubbas  17562  fbasrn  17579  rnelfmlem  17647  tailfb  26326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-fbas 17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator