Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcf Structured version   Unicode version

Theorem isfcf 18068
 Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isfcf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 18067 . . 3 TopOn
21eleq2d 2505 . 2 TopOn
3 simp1 958 . . 3 TopOn TopOn
4 toponmax 16995 . . . 4 TopOn
5 filfbas 17882 . . . 4
6 id 21 . . . 4
7 fmfil 17978 . . . 4
84, 5, 6, 7syl3an 1227 . . 3 TopOn
9 fclsopn 18048 . . 3 TopOn
103, 8, 9syl2anc 644 . 2 TopOn
11 simpll1 997 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
1211, 4syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
13 simpll2 998 . . . . . . . . . 10 TopOn
1413, 5syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
15 simpll3 999 . . . . . . . . 9 TopOn
16 simpl2 962 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
17 fgfil 17909 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1918eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10 TopOn
2019biimpar 473 . . . . . . . . 9 TopOn
21 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
2221imaelfm 17985 . . . . . . . . 9
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1188 . . . . . . . 8 TopOn
24 ineq2 3538 . . . . . . . . . 10
2524neeq1d 2616 . . . . . . . . 9
2625rspcv 3050 . . . . . . . 8
2723, 26syl 16 . . . . . . 7 TopOn
2827ralrimdva 2798 . . . . . 6 TopOn
29 elfm 17981 . . . . . . . . . . 11
304, 5, 6, 29syl3an 1227 . . . . . . . . . 10 TopOn
3130adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn
3231simplbda 609 . . . . . . . 8 TopOn
33 r19.29r 2849 . . . . . . . . . 10
34 sslin 3569 . . . . . . . . . . . 12
35 ssn0 3662 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35sylan 459 . . . . . . . . . . 11
3736rexlimivw 2828 . . . . . . . . . 10
3833, 37syl 16 . . . . . . . . 9
3938ex 425 . . . . . . . 8
4032, 39syl 16 . . . . . . 7 TopOn
4140ralrimdva 2798 . . . . . 6 TopOn
4228, 41impbid 185 . . . . 5 TopOn
4342imbi2d 309 . . . 4 TopOn
4443ralbidva 2723 . . 3 TopOn
4544anbi2d 686 . 2 TopOn
462, 10, 453bitrd 272 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfbas 16691  cfg 16692  TopOnctopon 16961  cfil 17879   cfm 17967   cfcls 17970   cfcf 17971 This theorem is referenced by:  fcfnei  18069 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-fil 17880  df-fm 17972  df-fcls 17975  df-fcf 17976
 Copyright terms: Public domain W3C validator