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Theorem isfcf 17745
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, J    o, L, s    o, F, s    o, X, s    o, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem isfcf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 17744 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fClusf  L ) `
 F )  =  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
21eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3 simp1 955 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 toponmax 16682 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
5 filfbas 17559 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
6 id 19 . . . 4  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y --> X )
7 fmfil 17655 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
84, 5, 6, 7syl3an 1224 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
9 fclsopn 17725 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
103, 8, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) ) ) )
11 simpll1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1211, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  X  e.  J )
13 simpll2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
1413, 5syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
15 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  F : Y --> X )
16 simpl2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
17 fgfil 17586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen L )  =  L )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( Y filGen L )  =  L )
1918eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
s  e.  ( Y
filGen L )  <->  s  e.  L ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  s  e.  ( Y filGen L ) )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y
filGen L )  =  ( Y filGen L )
2221imaelfm 17662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen L ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) )
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )
24 ineq2 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F "
s )  ->  (
o  i^i  x )  =  ( o  i^i  ( F " s
) ) )
2524neeq1d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F "
s )  ->  (
( o  i^i  x
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2625rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " s )  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
)  ->  ( A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2723, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  s  e.  L )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
2827ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
29 elfm 17658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
304, 5, 6, 29syl3an 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
3130adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( x  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
) ) )
3231simplbda 607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  x
)
33 r19.29r 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  /\  A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  E. s  e.  L  ( ( F " s )  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
34 sslin 3408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " s ) 
C_  x  ->  (
o  i^i  ( F " s ) )  C_  ( o  i^i  x
) )
35 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( o  i^i  ( F " s ) ) 
C_  ( o  i^i  x )  /\  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) )
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F " s
)  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  x )  =/=  (/) )
3736rexlimivw 2676 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  L  ( ( F " s
)  C_  x  /\  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  x )  =/=  (/) )
3833, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  /\  A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) )
3938ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  x  ->  ( A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4032, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  o  e.  J
)  /\  x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  ->  ( A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )
4140ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ( o  i^i  x
)  =/=  (/) ) )
4228, 41impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. x  e.  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
4342imbi2d 307 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
4443ralbidva 2572 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
4544anbi2d 684 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. x  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ( o  i^i  x )  =/=  (/) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
462, 10, 453bitrd 270 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556    FilMap cfm 17644    fClus cfcls 17647    fClusf cfcf 17648
This theorem is referenced by:  fcfnei  17746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-fcls 17652  df-fcf 17653
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