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Theorem isfcls 18002
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsval.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isfcls  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    X, s    J, s

Proof of Theorem isfcls
Dummy variables  f 
j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 631 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
2 fvssunirn 5721 . . . . . . . 8  |-  ( Fil `  X )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3312 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  U.
ran  Fil )
4 filunibas 17874 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
54eqcomd 2417 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. F )
63, 5jca 519 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
7 filunirn 17875 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  <->  F  e.  ( Fil `  U. F ) )
8 fveq2 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. F  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. F ) )
98eleq2d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. F ) ) )
109biimparc 474 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
117, 10sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  U. ran  Fil 
/\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
126, 11impbii 181 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e. 
U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
1312anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1413anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
15 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
16 anass 631 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1716anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1814, 15, 173bitr4i 269 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
19 df-fcls 17934 . . . 4  |-  fClus  =  ( j  e.  Top , 
f  e.  U. ran  Fil  |->  if ( U. j  =  U. f ,  |^|_ x  e.  f  ( ( cls `  j ) `
 x ) ,  (/) ) )
2019elmpt2cl 6255 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  F  e. 
U. ran  Fil )
)
21 fclsval.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
2221fclsval 18001 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. F ) )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
237, 22sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
2423eleq2d 2479 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) )
25 n0i 3601 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  -.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  =  (/) )
26 iffalse 3714 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =  U. F  ->  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  =  (/) )
2725, 26nsyl2 121 . . . . . 6  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F )
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F ) )
2928pm4.71rd 617 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) ) )
30 iftrue 3713 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3130adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3231eleq2d 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
33 elex 2932 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
35 filn0 17855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  =/=  (/) )
367, 35sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  ->  F  =/=  (/) )
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  F  =/=  (/) )
38 r19.2z 3685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3938ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
41 elex 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s
)  ->  A  e.  _V )
4241rexlimivw 2794 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
4340, 42syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
44 eliin 4066 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
)  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4634, 43, 45pm5.21ndd 344 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4732, 46bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4847pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4924, 29, 483bitrd 271 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
5020, 49biadan2 624 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
511, 18, 503bitr4ri 270 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   ifcif 3707   U.cuni 3983   |^|_ciin 4062   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Topctop 16921   clsccl 17045   Filcfil 17838    fClus cfcls 17929
This theorem is referenced by:  fclsfil  18003  fclstop  18004  isfcls2  18006  fclssscls  18011  flimfcls  18019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-fbas 16662  df-fil 17839  df-fcls 17934
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