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Theorem isfcls 17704
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsval.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isfcls  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    X, s    J, s

Proof of Theorem isfcls
Dummy variables  f 
j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 630 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
2 fvssunirn 5551 . . . . . . . 8  |-  ( Fil `  X )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  U.
ran  Fil )
4 filunibas 17576 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
54eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. F )
63, 5jca 518 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
7 filunirn 17577 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  <->  F  e.  ( Fil `  U. F ) )
8 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. F  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. F ) )
98eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. F ) ) )
109biimparc 473 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
117, 10sylanb 458 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  U. ran  Fil 
/\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
126, 11impbii 180 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e. 
U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
1312anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1413anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
15 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
16 anass 630 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1716anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1814, 15, 173bitr4i 268 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
19 df-fcls 17636 . . . 4  |-  fClus  =  ( j  e.  Top , 
f  e.  U. ran  Fil  |->  if ( U. j  =  U. f ,  |^|_ x  e.  f  ( ( cls `  j ) `
 x ) ,  (/) ) )
2019elmpt2cl 6061 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  F  e. 
U. ran  Fil )
)
21 fclsval.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
2221fclsval 17703 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. F ) )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
237, 22sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
2423eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) )
25 n0i 3460 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  -.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  =  (/) )
26 iffalse 3572 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =  U. F  ->  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  =  (/) )
2725, 26nsyl2 119 . . . . . 6  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F )
2827a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F ) )
2928pm4.71rd 616 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) ) )
30 iftrue 3571 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3130adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3231eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
33 elex 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
3433a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
35 filn0 17557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  =/=  (/) )
367, 35sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  ->  F  =/=  (/) )
3736ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  F  =/=  (/) )
38 r19.2z 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3938ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4037, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
41 elex 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s
)  ->  A  e.  _V )
4241rexlimivw 2663 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
4340, 42syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
44 eliin 3910 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
)  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4544a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4634, 43, 45pm5.21ndd 343 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4732, 46bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4847pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4924, 29, 483bitrd 270 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
5020, 49biadan2 623 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
511, 18, 503bitr4ri 269 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ifcif 3565   U.cuni 3827   |^|_ciin 3906   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   clsccl 16755   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631
This theorem is referenced by:  fclsfil  17705  fclstop  17706  isfcls2  17708  fclssscls  17713  flimfcls  17721
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-fcls 17636
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