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Theorem isfcls 18072
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsval.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
isfcls  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    X, s    J, s

Proof of Theorem isfcls
Dummy variables  f 
j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 632 . 2  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
2 fvssunirn 5783 . . . . . . . 8  |-  ( Fil `  X )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3330 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  U.
ran  Fil )
4 filunibas 17944 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
54eqcomd 2447 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. F )
63, 5jca 520 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
7 filunirn 17945 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  <->  F  e.  ( Fil `  U. F ) )
8 fveq2 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. F  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. F ) )
98eleq2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. F ) ) )
109biimparc 475 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
117, 10sylanb 460 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  U. ran  Fil 
/\  X  =  U. F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
126, 11impbii 182 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e. 
U. ran  Fil  /\  X  =  U. F ) )
1312anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1413anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
15 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
16 anass 632 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) ) )
1716anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  F  e.  U.
ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  ( F  e.  U. ran  Fil  /\  X  =  U. F
) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1814, 15, 173bitr4i 270 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  =  U. F )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
19 df-fcls 18004 . . . 4  |-  fClus  =  ( j  e.  Top , 
f  e.  U. ran  Fil  |->  if ( U. j  =  U. f ,  |^|_ x  e.  f  ( ( cls `  j ) `
 x ) ,  (/) ) )
2019elmpt2cl 6317 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  Top  /\  F  e. 
U. ran  Fil )
)
21 fclsval.x . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
2221fclsval 18071 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. F ) )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
237, 22sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fClus  F )  =  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )
2423eleq2d 2509 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) )
25 n0i 3618 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  -.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  =  (/) )
26 iffalse 3770 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =  U. F  ->  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  =  (/) )
2725, 26nsyl2 122 . . . . . 6  |-  ( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F )
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  ->  X  =  U. F ) )
2928pm4.71rd 618 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  = 
U. F ,  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) ) ) )
30 iftrue 3769 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. F  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3130adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  = 
|^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3231eleq2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
33 elex 2970 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
35 filn0 17925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  =/=  (/) )
367, 35sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  U. ran  Fil  ->  F  =/=  (/) )
3736ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  ->  F  =/=  (/) )
38 r19.2z 3741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
3938ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
41 elex 2970 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s
)  ->  A  e.  _V )
4241rexlimivw 2832 . . . . . . . 8  |-  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
4340, 42syl6 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  A  e.  _V )
)
44 eliin 4122 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
)  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  _V  ->  ( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4634, 43, 45pm5.21ndd 345 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  |^|_ s  e.  F  (
( cls `  J
) `  s )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4732, 46bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  X  = 
U. F )  -> 
( A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J ) `  s
) ,  (/) )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
4847pm5.32da 624 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( ( X  =  U. F  /\  A  e.  if ( X  =  U. F ,  |^|_ s  e.  F  ( ( cls `  J
) `  s ) ,  (/) ) )  <->  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
4924, 29, 483bitrd 272 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <-> 
( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
5020, 49biadan2 625 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  U. ran  Fil )  /\  ( X  =  U. F  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
511, 18, 503bitr4ri 271 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   E.wrex 2712   _Vcvv 2962   (/)c0 3613   ifcif 3763   U.cuni 4039   |^|_ciin 4118   ran crn 4908   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Topctop 16989   clsccl 17113   Filcfil 17908    fClus cfcls 17999
This theorem is referenced by:  fclsfil  18073  fclstop  18074  isfcls2  18076  fclssscls  18081  flimfcls  18089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-fbas 16730  df-fil 17909  df-fcls 18004
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