MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcls2 Unicode version

Theorem isfcls2 17708
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcls2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    J, s    X, s

Proof of Theorem isfcls2
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  J  e.  Top )
3 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Fil `  X )  =  ( Fil `  U. J
) )
54eleq2d 2350 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
65biimpa 470 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J ) )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
87isfcls 17704 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J
)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
9 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. J )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
108, 9bitri 240 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1110baib 871 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. J ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
122, 6, 11syl2anc 642 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   clsccl 16755   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631
This theorem is referenced by:  fclsopn  17709  fclsss2  17718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-topon 16639  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-fcls 17636
  Copyright terms: Public domain W3C validator