MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcls2 Structured version   Unicode version

Theorem isfcls2 18047
Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcls2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Distinct variable groups:    A, s    F, s    J, s    X, s

Proof of Theorem isfcls2
StepHypRef Expression
1 topontop 16993 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
21adantr 453 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  J  e.  Top )
3 toponuni 16994 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Fil `  X )  =  ( Fil `  U. J
) )
54eleq2d 2505 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
65biimpa 472 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J ) )
7 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
87isfcls 18043 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( J  e. 
Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J
)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
9 df-3an 939 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. J )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
108, 9bitri 242 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  U. J ) )  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
1110baib 873 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil ` 
U. J ) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
122, 6, 11syl2anc 644 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   A.wral 2707   U.cuni 4017   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   clsccl 17084   Filcfil 17879    fClus cfcls 17970
This theorem is referenced by:  fclsopn  18048  fclsss2  18057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-fbas 16701  df-topon 16968  df-fil 17880  df-fcls 17975
  Copyright terms: Public domain W3C validator