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Theorem isffth2 14113
Description: A fully faithful functor is a functor which is bijective on hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfth.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isfth.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isfth.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
Assertion
Ref Expression
isffth2  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, G, y    x, H, y    x, J, y

Proof of Theorem isffth2
StepHypRef Expression
1 isfth.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isfth.j . . . 4  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
3 isfth.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
41, 2, 3isfull2 14108 . . 3  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
51, 3, 2isfth2 14112 . . 3  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
64, 5anbi12i 679 . 2  |-  ( ( F ( C Full  D
) G  /\  F
( C Faith  D ) G )  <->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  /\  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
7 brin 4259 . 2  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C Full  D ) G  /\  F ( C Faith 
D ) G ) )
8 df-f1o 5461 . . . . . . 7  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  /\  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
9 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) ) )
108, 9bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  /\  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
11102ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) ) )
12 r19.26-2 2839 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
1311, 12bitri 241 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
1413anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
15 anandi 802 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  /\  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
1614, 15bitri 241 . 2  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  /\  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
176, 7, 163bitr4i 269 1  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652   A.wral 2705    i^i cin 3319   class class class wbr 4212   -1-1->wf1 5451   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469    Hom chom 13540    Func cfunc 14051   Full cful 14099   Faith cfth 14100
This theorem is referenced by:  idffth  14130  ressffth  14135  catciso  14262  yonffthlem  14379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-ixp 7064  df-func 14055  df-full 14101  df-fth 14102
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