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Theorem isffth2 13806
Description: A fully faithful functor is a functor which is bijective on hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfth.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isfth.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isfth.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
Assertion
Ref Expression
isffth2  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, G, y    x, H, y    x, J, y

Proof of Theorem isffth2
StepHypRef Expression
1 isfth.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 isfth.j . . . 4  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
3 isfth.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
41, 2, 3isfull2 13801 . . 3  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
51, 3, 2isfth2 13805 . . 3  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
64, 5anbi12i 678 . 2  |-  ( ( F ( C Full  D
) G  /\  F
( C Faith  D ) G )  <->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  /\  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
7 brin 4086 . 2  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C Full  D ) G  /\  F ( C Faith 
D ) G ) )
8 df-f1o 5278 . . . . . . . 8  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  /\  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
9 ancom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) ) )
108, 9bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  /\  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
1110ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) ) )
1211ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x G y ) : ( x H y )
-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) ) )
13 r19.26-2 2689 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
1412, 13bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
1514anbi2i 675 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
16 anandi 801 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )  <->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  /\  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
1715, 16bitri 240 . 2  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  /\  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
186, 7, 173bitr4i 268 1  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-onto-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632   A.wral 2556    i^i cin 3164   class class class wbr 4039   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164    Hom chom 13235    Func cfunc 13744   Full cful 13792   Faith cfth 13793
This theorem is referenced by:  idffth  13823  ressffth  13828  catciso  13955  yonffthlem  14072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-ixp 6834  df-func 13748  df-full 13794  df-fth 13795
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