MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfil2 Unicode version

Theorem isfil2 17567
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, X, y

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 17562 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 0nelfil 17560 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
3 filtop 17566 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
41, 2, 33jca 1132 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_ 
~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F ) )
5 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
6 filss 17564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
763exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
87com23 72 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
98imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  F  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
109rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
115, 10sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
1211ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F ) )
13 filin 17565 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  F )
14133expb 1152 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  F
)
1514ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
)
164, 12, 153jca 1132 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
17 simp11 985 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  C_ 
~P X )
18 simp13 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  X  e.  F )
19 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( X  e.  F  ->  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  =/=  (/) )
21 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
22 df-nel 2462 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/  F  <->  -.  (/)  e.  F
)
2321, 22sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  (/)  e/  F
)
24 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
25 sseq1 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
2625rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  F  /\  ( x  i^i  y
)  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
2724, 26mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2827ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2928ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
30293ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
3120, 23, 303jca 1132 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
32 isfbas2 17546 . . . . 5  |-  ( X  e.  F  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3318, 32syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3417, 31, 33mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
35 n0 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F  i^i  ~P x ) )
36 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  <->  ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x ) )
37 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
3837anim2i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
3936, 38sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  ->  (
y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4039eximi 1566 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  y  e.  ( F  i^i  ~P x
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4135, 40sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
42 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  x  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4341, 42sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
4443imim1i 54 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
4544ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
46453ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
47 isfil 17558 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
4834, 46, 47sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
4916, 48impbii 180 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271   fBascfbas 17534   Filcfil 17556
This theorem is referenced by:  isfild  17569  infil  17574  neifil  17591  trfil2  17598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-fbas 17536  df-fil 17557
  Copyright terms: Public domain W3C validator