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Theorem isfil2 17888
Description: Derive the standard axioms of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfil2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, X, y

Proof of Theorem isfil2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 17883 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 0nelfil 17881 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
3 filtop 17887 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
41, 2, 33jca 1134 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_ 
~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F ) )
5 elpwi 3807 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P X  ->  x  C_  X )
6 filss 17885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
y  e.  F  /\  x  C_  X  /\  y  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
763exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
87com23 74 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( y  e.  F  ->  ( y 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
98imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
y  e.  F  -> 
( y  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
109rexlimdv 2829 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
115, 10sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  ~P X )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F ) )
1211ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F ) )
13 filin 17886 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  F )
14133expb 1154 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  F
)
1514ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
)
164, 12, 153jca 1134 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
17 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  C_ 
~P X )
18 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  X  e.  F )
19 ne0i 3634 . . . . . 6  |-  ( X  e.  F  ->  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  =/=  (/) )
21 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
22 df-nel 2602 . . . . . 6  |-  ( (/)  e/  F  <->  -.  (/)  e.  F
)
2321, 22sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  (/)  e/  F
)
24 ssid 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
25 sseq1 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
2625rspcev 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  F  /\  ( x  i^i  y
)  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) )
2724, 26mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2827ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
2928ralimi 2781 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
30293ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
3120, 23, 303jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
32 isfbas2 17867 . . . . 5  |-  ( X  e.  F  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3318, 32syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  ( F  e.  ( fBas `  X )  <->  ( F  C_ 
~P X  /\  ( F  =/=  (/)  /\  (/)  e/  F  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
3417, 31, 33mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
35 n0 3637 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( F  i^i  ~P x ) )
36 elin 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  <->  ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x ) )
37 elpwi 3807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P x  -> 
y  C_  x )
3837anim2i 553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
3936, 38sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( F  i^i  ~P x )  ->  (
y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4039eximi 1585 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  y  e.  ( F  i^i  ~P x
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4135, 40sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
42 df-rex 2711 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  x  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )
4341, 42sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
4443imim1i 56 . . . . 5  |-  ( ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
4544ralimi 2781 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x )  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
46453ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) )
47 isfil 17879 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
4834, 46, 47sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ~P X  /\  -.  (/)  e.  F  /\  X  e.  F
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( E. y  e.  F  y 
C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  (
x  i^i  y )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
4916, 48impbii 181 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( ( F 
C_  ~P X  /\  -.  (/) 
e.  F  /\  X  e.  F )  /\  A. x  e.  ~P  X
( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  x  e.  F )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( x  i^i  y )  e.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2599    e/ wnel 2600   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   ` cfv 5454   fBascfbas 16689   Filcfil 17877
This theorem is referenced by:  isfild  17890  infil  17895  neifil  17912  trfil2  17919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-fbas 16699  df-fil 17878
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