Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfild Structured version   Unicode version

Theorem isfild 17890
 Description: Sufficient condition for a set of the form to be a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfild.1
isfild.2
isfild.3
isfild.4
isfild.5
isfild.6
Assertion
Ref Expression
isfild
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isfild
StepHypRef Expression
1 isfild.1 . . . . 5
2 vex 2959 . . . . . . . 8
32elpw 3805 . . . . . . 7
43biimpri 198 . . . . . 6
54adantr 452 . . . . 5
61, 5syl6bi 220 . . . 4
76ssrdv 3354 . . 3
8 isfild.4 . . . 4
9 isfild.2 . . . . . 6
101, 9isfildlem 17889 . . . . 5
11 simpr 448 . . . . 5
1210, 11syl6bi 220 . . . 4
138, 12mtod 170 . . 3
14 isfild.3 . . . . 5
15 ssid 3367 . . . . 5
1614, 15jctil 524 . . . 4
171, 9isfildlem 17889 . . . 4
1816, 17mpbird 224 . . 3
197, 13, 183jca 1134 . 2
20 elpwi 3807 . . . 4
21 isfild.5 . . . . . . . . . . 11
22 simp2 958 . . . . . . . . . . 11
2321, 22jctild 528 . . . . . . . . . 10
2423adantld 454 . . . . . . . . 9
251, 9isfildlem 17889 . . . . . . . . . 10
26253ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
271, 9isfildlem 17889 . . . . . . . . . 10
28273ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
2924, 26, 283imtr4d 260 . . . . . . . 8
30293expa 1153 . . . . . . 7
3130impancom 428 . . . . . 6
3231rexlimdva 2830 . . . . 5
3332ex 424 . . . 4
3420, 33syl5 30 . . 3
3534ralrimiv 2788 . 2
36 ssinss1 3569 . . . . . . 7
3736ad2antrr 707 . . . . . 6
3837a1i 11 . . . . 5
39 an4 798 . . . . . 6
40 isfild.6 . . . . . . . 8
41403expb 1154 . . . . . . 7
4241expimpd 587 . . . . . 6
4339, 42syl5bi 209 . . . . 5
4438, 43jcad 520 . . . 4
4527, 25anbi12d 692 . . . 4
461, 9isfildlem 17889 . . . 4
4744, 45, 463imtr4d 260 . . 3
4847ralrimivv 2797 . 2
49 isfil2 17888 . 2
5019, 35, 48, 49syl3anbrc 1138 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956  wsbc 3161   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  cfv 5454  cfil 17877 This theorem is referenced by:  snfil  17896  fgcl  17910  filuni  17917  cfinfil  17925  csdfil  17926  supfil  17927  fin1aufil  17964 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-fbas 16699  df-fil 17878
 Copyright terms: Public domain W3C validator