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Theorem isfin1-2 8027
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
2 elex 2809 . . 3  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  ~P ~P A  e.  _V )
3 pwexb 4580 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
4 pwexb 4580 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
53, 4bitri 240 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
62, 5sylibr 203 . 2  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  A  e.  _V )
7 ominf 7091 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
8 pwfi 7167 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
9 pwfi 7167 . . . . . . . 8  |-  ( ~P A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
108, 9bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
11 domfi 7100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ~P A  e. 
Fin  /\  om  ~<_  ~P ~P A )  ->  om  e.  Fin )
1211expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( ~P ~P A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
1310, 12syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
)
147, 13mtoi 169 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  ->  -.  A  e.  Fin )
15 fineqvlem 7093 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P A )
1615ex 423 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P A ) )
1714, 16impbid2 195 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  ~P ~P A  <->  -.  A  e.  Fin ) )
1817con2bid 319 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
19 isfin4-2 7956 . . . 4  |-  ( ~P ~P A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P ~P A ) )
205, 19sylbi 187 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
2118, 20bitr4d 247 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV ) )
221, 6, 21pm5.21nii 342 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   omcom 4672    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879  FinIVcfin4 7922
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fin4 7929
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