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Theorem isfin1-2 8257
Description: A set is finite in the usual sense iff the power set of its power set is Dedekind finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin1-2  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )

Proof of Theorem isfin1-2
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  _V )
2 elex 2956 . . 3  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  ~P ~P A  e.  _V )
3 pwexb 4745 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
4 pwexb 4745 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
53, 4bitri 241 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P ~P A  e.  _V )
62, 5sylibr 204 . 2  |-  ( ~P ~P A  e. FinIV  ->  A  e.  _V )
7 ominf 7313 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
8 pwfi 7394 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
9 pwfi 7394 . . . . . . . 8  |-  ( ~P A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
108, 9bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e.  Fin )
11 domfi 7322 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ~P A  e. 
Fin  /\  om  ~<_  ~P ~P A )  ->  om  e.  Fin )
1211expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( ~P ~P A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
1310, 12syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  -> 
( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
)
147, 13mtoi 171 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P ~P A  ->  -.  A  e.  Fin )
15 fineqvlem 7315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P A )
1615ex 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P A ) )
1714, 16impbid2 196 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  ~P ~P A  <->  -.  A  e.  Fin ) )
1817con2bid 320 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
19 isfin4-2 8186 . . . 4  |-  ( ~P ~P A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P ~P A ) )
205, 19sylbi 188 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( ~P ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P ~P A ) )
2118, 20bitr4d 248 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV ) )
221, 6, 21pm5.21nii 343 1  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P ~P A  e. FinIV )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204   omcom 4837    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101  FinIVcfin4 8152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fin4 8159
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