Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin2-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin2-2 8191
 Description: FinII expressed in terms of minimal elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin2-2 FinII []
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isfin2-2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3799 . . . 4
2 fin2i2 8190 . . . . 5 FinII []
32ex 424 . . . 4 FinII []
41, 3sylan2 461 . . 3 FinII []
54ralrimiva 2781 . 2 FinII []
6 elpwi 3799 . . . . 5
7 simp1r 982 . . . . . . . 8 [] []
8 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . 11
9 simp1l 981 . . . . . . . . . . . 12 [] []
10 pwexg 4375 . . . . . . . . . . . 12
11 elpw2g 4355 . . . . . . . . . . . 12
129, 10, 113syl 19 . . . . . . . . . . 11 [] []
138, 12mpbiri 225 . . . . . . . . . 10 [] []
14 simp2 958 . . . . . . . . . 10 [] [] []
15 simp3l 985 . . . . . . . . . . . 12 [] []
16 fin23lem7 8188 . . . . . . . . . . . 12
179, 7, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 [] []
18 sorpsscmpl 6525 . . . . . . . . . . . . 13 [] []
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . 12 [] []
20193ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11 [] [] []
2117, 20jca 519 . . . . . . . . . 10 [] [] []
22 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . 13
23 soeq2 4515 . . . . . . . . . . . . 13 [] []
2422, 23anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12 [] []
25 inteq 4045 . . . . . . . . . . . . 13
26 id 20 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . 12
2824, 27imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11 [] []
2928rspcv 3040 . . . . . . . . . 10 [] []
3013, 14, 21, 29syl3c 59 . . . . . . . . 9 [] []
31 sorpssint 6524 . . . . . . . . . 10 []
3220, 31syl 16 . . . . . . . . 9 [] []
3330, 32mpbird 224 . . . . . . . 8 [] []
34 psseq1 3426 . . . . . . . . 9
35 psseq1 3426 . . . . . . . . 9
36 pssdifcom1 3705 . . . . . . . . 9
3734, 35, 36fin23lem11 8189 . . . . . . . 8
387, 33, 37sylc 58 . . . . . . 7 [] []
39 simp3r 986 . . . . . . . 8 [] [] []
40 sorpssuni 6523 . . . . . . . 8 []
4139, 40syl 16 . . . . . . 7 [] []
4238, 41mpbid 202 . . . . . 6 [] []
43423exp 1152 . . . . 5 [] []
446, 43sylan2 461 . . . 4 [] []
4544ralrimdva 2788 . . 3 [] []
46 isfin2 8166 . . 3 FinII []
4745, 46sylibrd 226 . 2 [] FinII
485, 47impbid2 196 1 FinII []
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312   wpss 3313  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007  cint 4042   wor 4494   [] crpss 6513  FinIIcfin2 8151 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-rpss 6514  df-fin2 8158
 Copyright terms: Public domain W3C validator