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Theorem isfin2-2 8191
Description: FinII expressed in terms of minimal elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin2-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) ) )
Distinct variable group:    y, A
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem isfin2-2
Dummy variables  b 
c  m  n  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3799 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P ~P A  ->  y  C_  ~P A
)
2 fin2i2 8190 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  y  C_ 
~P A )  /\  ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y ) )  ->  |^| y  e.  y
)
32ex 424 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  y  C_  ~P A )  ->  (
( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y ) )
41, 3sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  y  e.  ~P ~P A )  -> 
( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
54ralrimiva 2781 . 2  |-  ( A  e. FinII  ->  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
6 elpwi 3799 . . . . 5  |-  ( b  e.  ~P ~P A  ->  b  C_  ~P A
)
7 simp1r 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
b  C_  ~P A
)
8 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } 
C_  ~P A
9 simp1l 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  A  e.  V )
10 pwexg 4375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
11 elpw2g 4355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A 
<->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  C_  ~P A
) )
129, 10, 113syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A  <->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  C_  ~P A ) )
138, 12mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  ~P ~P A )
14 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) )
15 simp3l 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
b  =/=  (/) )
16 fin23lem7 8188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A  /\  b  =/=  (/) )  ->  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  =/=  (/) )
179, 7, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) )
18 sorpsscmpl 6525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ C.]  Or  b  -> [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  -> [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } )
20193ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> [ C.]  Or  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )
2117, 20jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) 
/\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
22 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( y  =/=  (/)  <->  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) ) )
23 soeq2 4515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( [
C.]  Or  y  <-> [ C.]  Or  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b } ) )
2422, 23anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  <->  ( {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
25 inteq 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  |^| y  =  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )
26 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )
2725, 26eleq12d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  (
|^| y  e.  y  <->  |^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
2824, 27imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  <->  ( ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
2928rspcv 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( { c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  e.  ~P ~P A  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  =/=  (/) 
/\ [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )  ->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) ) )
3013, 14, 21, 29syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  |^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } )
31 sorpssint 6524 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ C.]  Or  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  -.  w  C.  z  <->  |^| { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b }  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } ) )
3220, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( E. z  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b } A. w  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  -.  w  C.  z 
<-> 
|^| { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  b }  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } ) )
3330, 32mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  E. z  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  -.  w  C.  z )
34 psseq1 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( A  \ 
z )  ->  (
m  C.  n  <->  ( A  \  z )  C.  n
) )
35 psseq1 3426 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( A  \  n )  ->  (
w  C.  z  <->  ( A  \  n )  C.  z
) )
36 pssdifcom1 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  n  C_  A )  -> 
( ( A  \ 
z )  C.  n  <->  ( A  \  n ) 
C.  z ) )
3734, 35, 36fin23lem11 8189 . . . . . . . 8  |-  ( b 
C_  ~P A  ->  ( E. z  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  b } A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  b }  -.  w  C.  z  ->  E. m  e.  b 
A. n  e.  b  -.  m  C.  n
) )
387, 33, 37sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n )
39 simp3r 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> [ C.]  Or  b )
40 sorpssuni 6523 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  b  ->  ( E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n  <->  U. b  e.  b ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  -> 
( E. m  e.  b  A. n  e.  b  -.  m  C.  n 
<-> 
U. b  e.  b ) )
4238, 41mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A
)  /\  A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  /\  (
b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b ) )  ->  U. b  e.  b
)
43423exp 1152 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  C_  ~P A )  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y )  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  ->  U. b  e.  b ) ) )
446, 43sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  b  e.  ~P ~P A )  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  (
( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  ->  U. b  e.  b ) ) )
4544ralrimdva 2788 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  A. b  e.  ~P  ~P A ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b )  ->  U. b  e.  b ) ) )
46 isfin2 8166 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. b  e.  ~P  ~P A ( ( b  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  b
)  ->  U. b  e.  b ) ) )
4745, 46sylibrd 226 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y )  ->  A  e. FinII
) )
485, 47impbid2 196 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. y  e.  ~P  ~P A ( ( y  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  y
)  ->  |^| y  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   |^|cint 4042    Or wor 4494   [ C.] crpss 6513  FinIIcfin2 8151
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-rpss 6514  df-fin2 8158
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