MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin3-4 Unicode version

Theorem isfin3-4 8053
Description: Weakly Dedekind-infinite sets are exactly those with an 
om-indexed ascending chain of subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin3-4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( f `  x )  C_  (
f `  suc  x )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, V
Allowed substitution hint:    V( f)

Proof of Theorem isfin3-4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . 2  |-  ( y  e.  ~P A  |->  ( A  \  y ) )  =  ( y  e.  ~P A  |->  ( A  \  y ) )
21isf34lem6 8051 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIII 
<-> 
A. f  e.  ( ~P A  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( f `  x )  C_  (
f `  suc  x )  ->  U. ran  f  e. 
ran  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1701   A.wral 2577    \ cdif 3183    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864    e. cmpt 4114   suc csuc 4431   omcom 4693   ran crn 4727   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ^m cmap 6815  FinIIIcfin3 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-rpss 6319  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-seqom 6502  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-wdom 7318  df-card 7617  df-fin4 7958  df-fin3 7959
  Copyright terms: Public domain W3C validator