MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin32i Unicode version

Theorem isfin32i 8179
Description: One half of isfin3-2 8181. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin32i  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )

Proof of Theorem isfin32i
StepHypRef Expression
1 isfin3 8110 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 8128 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 233 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 relwdom 7468 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_*
54brrelexi 4859 . . . . 5  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  e.  _V )
6 canth2g 7198 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  om  ~<  ~P
om )
7 sdomdom 7072 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P om  ->  om  ~<_  ~P om )
85, 6, 73syl 19 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P om )
9 wdompwdom 7480 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  ~P om  ~<_  ~P A
)
10 domtr 7097 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  ~P om  /\  ~P om 
~<_  ~P A )  ->  om 
~<_  ~P A )
118, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 115 . 2  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_*  A )
131, 12sylbi 188 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1717   _Vcvv 2900   ~Pcpw 3743   class class class wbr 4154   omcom 4786    ~<_ cdom 7044    ~< csdm 7045    ~<_* cwdom 7459  FinIVcfin4 8094  FinIIIcfin3 8095
This theorem is referenced by:  isf33lem  8180  isfin3-2  8181  fin33i  8183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-wdom 7461  df-fin4 8101  df-fin3 8102
  Copyright terms: Public domain W3C validator