MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin32i Structured version   Unicode version

Theorem isfin32i 8237
Description: One half of isfin3-2 8239. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin32i  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )

Proof of Theorem isfin32i
StepHypRef Expression
1 isfin3 8168 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 8186 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 233 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 relwdom 7526 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_*
54brrelexi 4910 . . . . 5  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  e.  _V )
6 canth2g 7253 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  om  ~<  ~P
om )
7 sdomdom 7127 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P om  ->  om  ~<_  ~P om )
85, 6, 73syl 19 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P om )
9 wdompwdom 7538 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  ~P om  ~<_  ~P A
)
10 domtr 7152 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  ~P om  /\  ~P om 
~<_  ~P A )  ->  om 
~<_  ~P A )
118, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 115 . 2  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_*  A )
131, 12sylbi 188 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204   omcom 4837    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100    ~<_* cwdom 7517  FinIVcfin4 8152  FinIIIcfin3 8153
This theorem is referenced by:  isf33lem  8238  isfin3-2  8239  fin33i  8241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-wdom 7519  df-fin4 8159  df-fin3 8160
  Copyright terms: Public domain W3C validator