MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin32i Unicode version

Theorem isfin32i 8007
Description: One half of isfin3-2 8009. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin32i  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )

Proof of Theorem isfin32i
StepHypRef Expression
1 isfin3 7938 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 7956 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 232 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 relwdom 7296 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_*
54brrelexi 4745 . . . . 5  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  e.  _V )
6 canth2g 7031 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  om  ~<  ~P
om )
7 sdomdom 6905 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P om  ->  om  ~<_  ~P om )
85, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P om )
9 wdompwdom 7308 . . . 4  |-  ( om  ~<_*  A  ->  ~P om  ~<_  ~P A
)
10 domtr 6930 . . . 4  |-  ( ( om  ~<_  ~P om  /\  ~P om 
~<_  ~P A )  ->  om 
~<_  ~P A )
118, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( om  ~<_*  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 113 . 2  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_*  A )
131, 12sylbi 187 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039   omcom 4672    ~<_ cdom 6877    ~< csdm 6878    ~<_* cwdom 7287  FinIVcfin4 7922  FinIIIcfin3 7923
This theorem is referenced by:  isf33lem  8008  isfin3-2  8009  fin33i  8011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-fin4 7929  df-fin3 7930
  Copyright terms: Public domain W3C validator