MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-2 Structured version   Unicode version

Theorem isfin4-2 8194
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  A ) )

Proof of Theorem isfin4-2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin4 8177 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) ) )
2 infpssr 8188 . . . . 5  |-  ( ( x  C.  A  /\  x  ~~  A )  ->  om 
~<_  A )
32exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A
)  ->  om  ~<_  A )
4 infpss 8097 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. x
( x  C.  A  /\  x  ~~  A ) )
53, 4impbii 181 . . 3  |-  ( E. x ( x  C.  A  /\  x  ~~  A
)  <->  om  ~<_  A )
65notbii 288 . 2  |-  ( -. 
E. x ( x 
C.  A  /\  x  ~~  A )  <->  -.  om  ~<_  A )
71, 6syl6bb 253 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinIV 
<->  -.  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725    C. wpss 3321   class class class wbr 4212   omcom 4845    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107  FinIVcfin4 8160
This theorem is referenced by:  isfin4-3  8195  fin23lem41  8232  isfin32i  8245  isfin1-2  8265  fin34  8270  fin41  8324  gchinf  8532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fin4 8167
  Copyright terms: Public domain W3C validator