MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin5-2 Unicode version

Theorem isfin5-2 8017
Description: Alternate definition of V-finite which emphasizes the idempotent behavior of V-infinite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin5-2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinV 
<->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A ) ) ) )

Proof of Theorem isfin5-2
StepHypRef Expression
1 nne 2450 . . . . 5  |-  ( -.  A  =/=  (/)  <->  A  =  (/) )
21bicomi 193 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  A  =/=  (/) )
32a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  (/)  <->  -.  A  =/=  (/) ) )
4 cdadom3 7814 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  A  ~<_  ( A  +c  A ) )
54anidms 626 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  ~<_  ( A  +c  A
) )
6 brsdom 6884 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  +c  A
)  <->  ( A  ~<_  ( A  +c  A )  /\  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
76baib 871 . . . 4  |-  ( A  ~<_  ( A  +c  A
)  ->  ( A  ~<  ( A  +c  A
)  <->  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
85, 7syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~<  ( A  +c  A )  <->  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
93, 8orbi12d 690 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A  =  (/)  \/  A  ~<  ( A  +c  A ) )  <->  ( -.  A  =/=  (/)  \/  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) ) )
10 isfin5 7925 . 2  |-  ( A  e. FinV  <-> 
( A  =  (/)  \/  A  ~<  ( A  +c  A ) ) )
11 ianor 474 . 2  |-  ( -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A
) )  <->  ( -.  A  =/=  (/)  \/  -.  A  ~~  ( A  +c  A
) ) )
129, 10, 113bitr4g 279 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinV 
<->  -.  ( A  =/=  (/)  /\  A  ~~  ( A  +c  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862    +c ccda 7793  FinVcfin5 7908
This theorem is referenced by:  fin45  8018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-cda 7794  df-fin5 7915
  Copyright terms: Public domain W3C validator