Theorem isfinite2 4557

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	|- (A ~< om -> A e. Fin)

Proof of Theorem isfinite2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 4479	. . 3 |- (A ~< om -> (A e. V /\ om e. V))
2	1	pm3.27d 325	. 2 |- (A ~< om -> om e. V)
3		domeng 4386	. . . 4 |- (om e. V -> (A ~<_ om <-> E.y(A ~~ y /\ y (_ om)))
4		sdomdom 4392	. . . 4 |- (A ~< om -> A ~<_ om)
5	3, 4	syl5bi 208	. . 3 |- (om e. V -> (A ~< om -> E.y(A ~~ y /\ y (_ om)))
6		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
7	6	unbnn 4555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z e. w) -> y ~~ om)
8	7	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (y (_ om -> (A.z e. om E.w e. y z e. w -> y ~~ om))
9		sdomnen 4393	. . . . . . . . . . . 12 |- (y ~< om -> -. y ~~ om)
10	8, 9	nsyli 121	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ om -> (y ~< om -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
11		ensdomtr 4477	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y ~~ A /\ A ~< om) -> y ~< om)
12	6	ensym 4418	. . . . . . . . . . . 12 |- (A ~~ y -> y ~~ A)
13	11, 12	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y ~< om)
14	10, 13	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> -. A.z e. om E.w e. y z e. w))
15		ordtri1 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Ord w /\ Ord z) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
16		ssel2 2067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y (_ On /\ w e. y) -> w e. On)
17		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. V
18	17	elon 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (w e. On <-> Ord w)
19	16, 18	sylib 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y (_ On /\ w e. y) -> Ord w)
20	15, 19	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y (_ On /\ w e. y) /\ Ord z) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
21	20	an1rs 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y (_ On /\ Ord z) /\ w e. y) -> (w (_ z <-> -. z e. w))
22	21	ralbidva 1662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (A.w e. y w (_ z <-> A.w e. y -. z e. w))
23		unissb 2532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (U.y (_ z <-> A.w e. y w (_ z)
24		ralnex 1656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.w e. y -. z e. w <-> -. E.w e. y z e. w)
25	24	bicomi 172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. E.w e. y z e. w <-> A.w e. y -. z e. w)
26	22, 23, 25	3bitr4g 557	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (U.y (_ z <-> -. E.w e. y z e. w))
27		ordunisssuc 3089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (U.y (_ z <-> y (_ suc z))
28	26, 27	bitr3d 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y (_ On /\ Ord z) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y (_ suc z))
29		omsson 3142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om (_ On
30		sstr 2075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y (_ om /\ om (_ On) -> y (_ On)
31	29, 30	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y (_ om -> y (_ On)
32		nnord 3146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> Ord z)
33	28, 31, 32	syl2an 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w <-> y (_ suc z))
34		ssnnfi 4545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((suc z e. om /\ y (_ suc z) -> y e. Fin)
35		peano2b 3153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. om <-> suc z e. om)
36	34, 35	sylanb 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. om /\ y (_ suc z) -> y e. Fin)
37	36	ex 373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> (y (_ suc z -> y e. Fin))
38	37	adantl 390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (y (_ suc z -> y e. Fin))
39	33, 38	sylbid 203	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y (_ om /\ z e. om) -> (-. E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
40	39	r19.23adva 1750	. . . . . . . . . . 11 |- (y (_ om -> (E.z e. om -. E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
41		rexnal 1657	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. om -. E.w e. y z e. w <-> -. A.z e. om E.w e. y z e. w)
42	40, 41	syl5ibr 207	. . . . . . . . . 10 |- (y (_ om -> (-. A.z e. om E.w e. y z e. w -> y e. Fin))
43	14, 42	syld 27	. . . . . . . . 9 |- (y (_ om -> ((A ~~ y /\ A ~< om) -> y e. Fin))
44	43	expdimp 377	. . . . . . . 8 |- ((y (_ om /\ A ~~ y) -> (A ~< om -> y e. Fin))
45		enfi 4543	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. V /\ A ~~ y) -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
46	6, 45	mpan 697	. . . . . . . . 9 |- (A ~~ y -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
47	46	adantl 390	. . . . . . . 8 |- ((y (_ om /\ A ~~ y) -> (A e. Fin <-> y e. Fin))
48	44, 47	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((y (_ om /\ A ~~ y) -> (A ~< om -> A e. Fin))
49	48	ex 373	. . . . . 6 |- (y (_ om -> (A ~~ y -> (A ~< om -> A e. Fin)))
50	49	com13 33	. . . . 5 |- (A ~< om -> (A ~~ y -> (y (_ om -> A e. Fin)))
51	50	imp3a 361	. . . 4 |- (A ~< om -> ((A ~~ y /\ y (_ om) -> A e. Fin))
52	51	19.23adv 1216	. . 3 |- (A ~< om -> (E.y(A ~~ y /\ y (_ om) -> A e. Fin))
53	5, 52	sylcom 51	. 2 |- (om e. V -> (A ~< om -> A e. Fin))
54	2, 53	mpcom 49	1 |- (A ~< om -> A e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  Ord word 2953  Oncon0 2954  suc csuc 2956  omcom 3137   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372  Fincfn 4373

This theorem is referenced by:  unfi2 4565  isfinite 4643  sucdom 4852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377

Copyright terms: Public domain