Theorem isfiniteOLD 4644

Description: A set is strictly dominated by the class of natural numbers iff it is finite. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem provides two equivalent ways to express "A is finite." The Axiom of Infinity is used for the reverse implication.

Assertion

Ref	Expression
isfiniteOLD	|- (A ~< om <-> E.x e. om A ~~ x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem isfiniteOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2OLD 4558	. 2 |- (A ~< om -> E.x e. om A ~~ x)
2		isfinite1OLD 4540	. . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))
3		omex 4636	. . . . . . 7 |- om e. V
4	3	ensym 4418	. . . . . 6 |- (A ~~ om -> om ~~ A)
5	4	con3i 98	. . . . 5 |- (-. om ~~ A -> -. A ~~ om)
6	5	anim2i 335	. . . 4 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
7		brsdom 4387	. . . 4 |- (A ~< om <-> (A ~<_ om /\ -. A ~~ om))
8	6, 7	sylibr 200	. . 3 |- ((A ~<_ om /\ -. om ~~ A) -> A ~< om)
9	2, 8	syl 10	. 2 |- (E.x e. om A ~~ x -> A ~< om)
10	1, 9	impbi 157	1 |- (A ~< om <-> E.x e. om A ~~ x)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  omcom 3137   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372

This theorem is referenced by:  dominfOLD 4916  fctop2OLD 7648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377

Copyright terms: Public domain