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Theorem isfldidl 26680
 Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
isfldidl.1
isfldidl.2
isfldidl.3
isfldidl.4 GId
isfldidl.5 GId
Assertion
Ref Expression
isfldidl CRingOps

Proof of Theorem isfldidl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fldcrng 26616 . . 3 CRingOps
2 flddivrng 22005 . . . 4
3 isfldidl.1 . . . . 5
4 isfldidl.2 . . . . 5
5 isfldidl.3 . . . . 5
6 isfldidl.4 . . . . 5 GId
7 isfldidl.5 . . . . 5 GId
83, 4, 5, 6, 7dvrunz 22023 . . . 4
92, 8syl 16 . . 3
103, 4, 5, 6divrngidl 26640 . . . 4
112, 10syl 16 . . 3
121, 9, 113jca 1135 . 2 CRingOps
13 crngorngo 26612 . . . . . 6 CRingOps
14133ad2ant1 979 . . . . 5 CRingOps
15 simp2 959 . . . . 5 CRingOps
163rneqi 5098 . . . . . . . . . . . . . . 15
175, 16eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14
1817, 4, 7rngo1cl 22019 . . . . . . . . . . . . 13
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
2019ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 CRingOps
21 eldif 3332 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 snssi 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
233, 5igenss 26674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2422, 23sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2625snss 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2726biimpri 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2927, 28syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029con3and 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3124, 30sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231anasss 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3321, 32sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14
35 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3635snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
373, 5igenidl 26675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3836, 37sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4038, 39syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443elpr 3834 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4542, 44sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645ord 368 . . . . . . . . . . . . . 14
4734, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
4813, 47sylanl1 633 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
493, 4, 5prnc 26679 . . . . . . . . . . . . . 14 CRingOps
5035, 49sylan2 462 . . . . . . . . . . . . 13 CRingOps
5150adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
5248, 51eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . 11 CRingOps
5320, 52eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10 CRingOps
54 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12
5554rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11
5655elrab 3094 . . . . . . . . . 10
5753, 56sylib 190 . . . . . . . . 9 CRingOps
5857simprd 451 . . . . . . . 8 CRingOps
59 eqcom 2440 . . . . . . . . 9
6059rexbii 2732 . . . . . . . 8
6158, 60sylibr 205 . . . . . . 7 CRingOps
6261ralrimiva 2791 . . . . . 6 CRingOps
63623adant2 977 . . . . 5 CRingOps
6414, 15, 63jca32 523 . . . 4 CRingOps
653, 4, 6, 5, 7isdrngo3 26577 . . . 4
6664, 65sylibr 205 . . 3 CRingOps
67 simp1 958 . . 3 CRingOps CRingOps
68 isfld2 26617 . . 3 CRingOps
6966, 67, 68sylanbrc 647 . 2 CRingOps
7012, 69impbii 182 1 CRingOps
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711   cdif 3319   wss 3322  csn 3816  cpr 3817   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1st 6349  c2nd 6350  GIdcgi 21777  crngo 21965  cdrng 21995  cfld 22003  CRingOpsccring 26607  cidl 26619   cigen 26671 This theorem is referenced by:  isfldidl2  26681 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-ablo 21872  df-ass 21903  df-exid 21905  df-mgm 21909  df-sgr 21921  df-mndo 21928  df-rngo 21966  df-drngo 21996  df-com2 22001  df-fld 22004  df-crngo 26608  df-idl 26622  df-igen 26672
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