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Theorem isflf 17946
Description: The property of being a limit point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isflf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, F    o, J, s    o, L, s    o, X, s    o, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem isflf
StepHypRef Expression
1 flfval 17943 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
21eleq2d 2454 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3 simp1 957 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 toponmax 16916 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
543ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  X  e.  J )
6 filfbas 17801 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
763ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
8 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  F : Y --> X )
9 fmfil 17897 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
105, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
11 flimopn 17928 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) ) )
123, 10, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) ) )
13 elfm 17900 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
145, 7, 8, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
16 toponss 16917 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
173, 16sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
1817biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1915, 18bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
2019imbi2d 308 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) )  <-> 
( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120ralbidva 2665 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
2221anbi2d 685 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
232, 12, 223bitrd 271 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   "cima 4821   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   fBascfbas 16615  TopOnctopon 16882   Filcfil 17798    FilMap cfm 17886    fLim cflim 17887    fLimf cflf 17888
This theorem is referenced by:  flfelbas  17947  flffbas  17948  flftg  17949  cnpflfi  17952  cnpflf2  17953  txflf  17959  limcflf  19635  rrhre  24183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-map 6956  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-topon 16889  df-ntr 17007  df-nei 17085  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893
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