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Theorem isflf 18017
Description: The property of being a limit point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isflf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, F    o, J, s    o, L, s    o, X, s    o, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem isflf
StepHypRef Expression
1 flfval 18014 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
21eleq2d 2502 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3 simp1 957 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 toponmax 16985 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
543ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  X  e.  J )
6 filfbas 17872 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
763ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
8 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  F : Y --> X )
9 fmfil 17968 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
105, 7, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
11 flimopn 17999 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) ) )
123, 10, 11syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) ) )
13 elfm 17971 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
145, 7, 8, 13syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
16 toponss 16986 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
173, 16sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  o  C_  X )
1817biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o  <->  ( o  C_  X  /\  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1915, 18bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L )  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
2019imbi2d 308 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) )  <-> 
( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120ralbidva 2713 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
2221anbi2d 685 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  o  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
232, 12, 223bitrd 271 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   "cima 4873   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   fBascfbas 16681  TopOnctopon 16951   Filcfil 17869    FilMap cfm 17957    fLim cflim 17958    fLimf cflf 17959
This theorem is referenced by:  flfelbas  18018  flffbas  18019  flftg  18020  cnpflfi  18023  cnpflf2  18024  txflf  18030  limcflf  19760  rrhre  24379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-topon 16958  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964
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