Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne2 Unicode version

Theorem isfne2 26374
Description: The predicate " B is finer than  A." (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1  |-  X  = 
U. A
isfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
isfne2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    X( x, y, z)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem isfne2
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3  |-  X  = 
U. A
2 isfne.2 . . 3  |-  Y  = 
U. B
31, 2isfne4 26372 . 2  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )
4 dfss3 3183 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B ) )
5 eltg2b 16713 . . . . 5  |-  ( B  e.  C  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
74, 6syl5bb 248 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) ) )
87anbi2d 684 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  (
( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `
 B ) )  <-> 
( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
93, 8syl5bb 248 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Fnecfne 26362
This theorem is referenced by:  fness  26385  fneref  26387  fnessref  26396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-fne 26366
  Copyright terms: Public domain W3C validator