Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne2 Unicode version

Theorem isfne2 26271
Description: The predicate " B is finer than  A." (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1  |-  X  = 
U. A
isfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
isfne2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    X( x, y, z)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem isfne2
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3  |-  X  = 
U. A
2 isfne.2 . . 3  |-  Y  = 
U. B
31, 2isfne4 26269 . 2  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )
4 dfss3 3170 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B ) )
5 eltg2b 16697 . . . . 5  |-  ( B  e.  C  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
74, 6syl5bb 248 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) ) )
87anbi2d 684 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  (
( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `
 B ) )  <-> 
( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
93, 8syl5bb 248 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   topGenctg 13342   Fnecfne 26259
This theorem is referenced by:  fness  26282  fneref  26284  fnessref  26293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-fne 26263
  Copyright terms: Public domain W3C validator