Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne2 Structured version   Unicode version

Theorem isfne2 26351
Description: The predicate " B is finer than  A." (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1  |-  X  = 
U. A
isfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
isfne2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, y, z
Allowed substitution hints:    X( x, y, z)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem isfne2
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3  |-  X  = 
U. A
2 isfne.2 . . 3  |-  Y  = 
U. B
31, 2isfne4 26349 . 2  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )
4 dfss3 3338 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B ) )
5 eltg2b 17024 . . . . 5  |-  ( B  e.  C  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
65ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
74, 6syl5bb 249 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) ) )
87anbi2d 685 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  (
( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `
 B ) )  <-> 
( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
93, 8syl5bb 249 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   topGenctg 13665   Fnecfne 26339
This theorem is referenced by:  fness  26362  fneref  26364  fnessref  26373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-fne 26343
  Copyright terms: Public domain W3C validator