Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne3 Structured version   Unicode version

Theorem isfne3 26333
Description: The predicate " B is finer than  A." (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1  |-  X  = 
U. A
isfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
isfne3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y
Allowed substitution hints:    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem isfne3
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3  |-  X  = 
U. A
2 isfne.2 . . 3  |-  Y  = 
U. B
31, 2isfne4 26330 . 2  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )
4 dfss3 3330 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B ) )
5 eltg3 17019 . . . . 5  |-  ( B  e.  C  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) )
65ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( B  e.  C  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) )
74, 6syl5bb 249 . . 3  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) )
87anbi2d 685 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  (
( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `
 B ) )  <-> 
( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
93, 8syl5bb 249 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   topGenctg 13657   Fnecfne 26320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659  df-fne 26324
  Copyright terms: Public domain W3C validator