Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Unicode version

Theorem isfne4 26269
Description: The predicate " B is finer than  A " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1  |-  X  = 
U. A
isfne.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
isfne4  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )

Proof of Theorem isfne4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 26267 . . 3  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 4730 . 2  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
3 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  X  =  Y )
4 isfne.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. A
5 isfne.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. B
63, 4, 53eqtr3g 2338 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. A  =  U. B )
7 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
87ssex 4158 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  ->  A  e.  _V )
98adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  A  e.  _V )
10 uniexb 4563 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
119, 10sylib 188 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. A  e.  _V )
126, 11eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  U. B  e.  _V )
13 uniexb 4563 . . 3  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
1412, 13sylibr 203 . 2  |-  ( ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  e.  _V )
154, 5isfne 26268 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) ) )
16 dfss3 3170 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B ) )
17 eltg 16695 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
1817ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  x  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
1916, 18syl5bb 248 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  C_  ( topGen `  B
)  <->  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
2019anbi2d 684 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  (
( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `
 B ) )  <-> 
( X  =  Y  /\  A. x  e.  A  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) ) )
2115, 20bitr4d 247 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) ) )
222, 14, 21pm5.21nii 342 1  |-  ( A Fne B  <->  ( X  =  Y  /\  A  C_  ( topGen `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   topGenctg 13342   Fnecfne 26259
This theorem is referenced by:  isfne4b  26270  isfne2  26271  isfne3  26272  fnebas  26273  fnetg  26274  topfne  26290  fnemeet1  26315  fnemeet2  26316  fnejoin1  26317  fnejoin2  26318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-fne 26263
  Copyright terms: Public domain W3C validator