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Theorem isfth 14038
Description: Value of the set of faithful functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isfth.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
isfth  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, G, y

Proof of Theorem isfth
Dummy variables  c 
d  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthfunc 14031 . . 3  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
21ssbri 4195 . 2  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
3 df-br 4154 . . . . . . 7  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 13987 . . . . . . 7  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
6 oveq12 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( c  Func  d
)  =  ( C 
Func  D ) )
76breqd 4164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( f ( c 
Func  d ) g  <-> 
f ( C  Func  D ) g ) )
8 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  c  =  C )
98fveq2d 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  ( Base `  C ) )
10 isfth.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  C
)
119, 10syl6eqr 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  B )
1211raleqdv 2853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y )  <->  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) )
1311, 12raleqbidv 2859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) )
147, 13anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) )  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) ) )
1514opabbidv 4212 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( c  Func  d
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  c ) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
16 df-fth 14029 . . . . . . 7  |- Faith  =  ( c  e.  Cat , 
d  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) ) } )
17 ovex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
18 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) )  ->  f
( C  Func  D
) g )
1918ssopab2i 4423 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  C_  {
<. f ,  g >.  |  f ( C 
Func  D ) g }
20 opabss 4210 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }  C_  ( C  Func  D )
2119, 20sstri 3300 . . . . . . . 8  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  C_  ( C  Func  D )
2217, 21ssexi 4289 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  e.  _V
2315, 16, 22ovmpt2a 6143 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Faith  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
245, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C Faith  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
2524breqd 4164 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G ) )
26 relfunc 13986 . . . . . 6  |-  Rel  ( C  Func  D )
27 brrelex12 4855 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
2826, 27mpan 652 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
29 breq12 4158 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f ( C 
Func  D ) g  <->  F ( C  Func  D ) G ) )
30 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
3130oveqd 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3231cnveqd 4988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  `' ( x g y )  =  `' ( x G y ) )
3332funeqd 5415 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( Fun  `' ( x g y )  <->  Fun  `' ( x G y ) ) )
34332ralbidv 2691 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
3529, 34anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) )  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
36 eqid 2387 . . . . . 6  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }
3735, 36brabga 4410 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
3828, 37syl 16 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
3925, 38bitrd 245 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
4039bianabs 851 . 2  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
412, 40biadan2 624 1  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899   <.cop 3760   class class class wbr 4153   {copab 4206   `'ccnv 4817   Rel wrel 4823   Fun wfun 5388   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   Catccat 13816    Func cfunc 13978   Faith cfth 14027
This theorem is referenced by:  isfth2  14039  fthpropd  14045  fthoppc  14047  fthres2b  14054  fthres2c  14055  fthres2  14056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-func 13982  df-fth 14029
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