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Theorem isfth 13804
Description: Value of the set of faithful functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isfth.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
isfth  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, G, y

Proof of Theorem isfth
Dummy variables  c 
d  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthfunc 13797 . . 3  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
21ssbri 4081 . 2  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
3 df-br 4040 . . . . . . . 8  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 13753 . . . . . . . 8  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
6 oveq12 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( c  Func  d
)  =  ( C 
Func  D ) )
76breqd 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( f ( c 
Func  d ) g  <-> 
f ( C  Func  D ) g ) )
8 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  c  =  C )
98fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  ( Base `  C ) )
10 isfth.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  C
)
119, 10syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  B )
1211raleqdv 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y )  <->  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) )
1311, 12raleqbidv 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) )
147, 13anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) )  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) ) )
1514opabbidv 4098 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( c  Func  d
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  c ) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
16 df-fth 13795 . . . . . . . 8  |- Faith  =  ( c  e.  Cat , 
d  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) Fun  `' (
x g y ) ) } )
17 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
18 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) )  ->  f
( C  Func  D
) g )
1918ssopab2i 4308 . . . . . . . . . 10  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  C_  {
<. f ,  g >.  |  f ( C 
Func  D ) g }
20 opabss 4096 . . . . . . . . . 10  |-  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }  C_  ( C  Func  D )
2119, 20sstri 3201 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  C_  ( C  Func  D )
2217, 21ssexi 4175 . . . . . . . 8  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  e.  _V
2315, 16, 22ovmpt2a 5994 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Faith  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
245, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C Faith  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } )
2524breqd 4050 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G ) )
26 relfunc 13752 . . . . . . 7  |-  Rel  ( C  Func  D )
27 brrelex12 4742 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
2826, 27mpan 651 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
29 breq12 4044 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f ( C 
Func  D ) g  <->  F ( C  Func  D ) G ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
3130oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3231cnveqd 4873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  `' ( x g y )  =  `' ( x G y ) )
3332funeqd 5292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( Fun  `' ( x g y )  <->  Fun  `' ( x G y ) ) )
34332ralbidv 2598 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
3529, 34anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) )  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
36 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) }
3735, 36brabga 4295 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
3828, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x g y ) ) } G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
3925, 38bitrd 244 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) ) )
4039baibd 875 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  F
( C  Func  D
) G )  -> 
( F ( C Faith 
D ) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
4140anidms 626 . 2  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Faith  D
) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
422, 41biadan2 623 1  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   `'ccnv 4704   Rel wrel 4710   Fun wfun 5265   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   Catccat 13582    Func cfunc 13744   Faith cfth 13793
This theorem is referenced by:  isfth2  13805  fthpropd  13811  fthoppc  13813  fthres2b  13820  fthres2c  13821  fthres2  13822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-func 13748  df-fth 13795
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