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Theorem isfth2 14039
Description: Equivalent condition for a faithful functor. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfth.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isfth.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
isfth.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
Assertion
Ref Expression
isfth2  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, G, y    x, H, y    x, J, y

Proof of Theorem isfth2
StepHypRef Expression
1 isfth.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
21isfth 14038 . 2  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
3 isfth.h . . . . . . 7  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
4 isfth.j . . . . . . 7  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
5 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F ( C 
Func  D ) G  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  F ( C  Func  D ) G )
6 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F ( C 
Func  D ) G  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B )
7 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F ( C 
Func  D ) G  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  y  e.  B )
81, 3, 4, 5, 6, 7funcf2 13992 . . . . . 6  |-  ( ( ( F ( C 
Func  D ) G  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
9 df-f1 5399 . . . . . . 7  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  /\  Fun  `' ( x G y ) ) )
109baib 872 . . . . . 6  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  -> 
( ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  Fun  `' ( x G y ) ) )
118, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F ( C 
Func  D ) G  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  <->  Fun  `' ( x G y ) ) )
1211ralbidva 2665 . . . 4  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
1312ralbidva 2665 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
1413pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x G y ) : ( x H y ) -1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )  <-> 
( F ( C 
Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  Fun  `' ( x G y ) ) )
152, 14bitr4i 244 1  |-  ( F ( C Faith  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y ) : ( x H y )
-1-1-> ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   class class class wbr 4153   `'ccnv 4817   Fun wfun 5388   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396    Hom chom 13467    Func cfunc 13978   Faith cfth 14027
This theorem is referenced by:  isffth2  14040  fthf1  14041  cofth  14059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-map 6956  df-ixp 7000  df-func 13982  df-fth 14029
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