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Theorem isfull 13784
Description: Value of the set of full functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfull.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isfull.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
Assertion
Ref Expression
isfull  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, J, y   
x, F, y    x, G, y

Proof of Theorem isfull
Dummy variables  c 
d  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullfunc 13780 . . 3  |-  ( C Full 
D )  C_  ( C  Func  D )
21ssbri 4065 . 2  |-  ( F ( C Full  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
3 df-br 4024 . . . . . . . 8  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 13737 . . . . . . . 8  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
6 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( c  Func  d
)  =  ( C 
Func  D ) )
76breqd 4034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( f ( c 
Func  d ) g  <-> 
f ( C  Func  D ) g ) )
8 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  c  =  C )
98fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  ( Base `  C ) )
10 isfull.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  C
)
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  B )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  d  =  D )
1312fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  (  Hom  `  d
)  =  (  Hom  `  D ) )
14 isfull.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
1513, 14syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  (  Hom  `  d
)  =  J )
1615oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) J ( f `  y
) ) )
1716eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
1811, 17raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
207, 19anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) ) )
2120opabbidv 4082 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( c  Func  d
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  c ) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
22 df-full 13778 . . . . . . . 8  |- Full  =  ( c  e.  Cat , 
d  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) ) } )
23 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
24 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) )  ->  f ( C 
Func  D ) g )
2524ssopab2i 4292 . . . . . . . . . 10  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  C_  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }
26 opabss 4080 . . . . . . . . . 10  |-  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }  C_  ( C  Func  D )
2725, 26sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  C_  ( C  Func  D )
2823, 27ssexi 4159 . . . . . . . 8  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  e.  _V
2921, 22, 28ovmpt2a 5978 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Full  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
305, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C Full  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
3130breqd 4034 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G
) )
32 relfunc 13736 . . . . . . 7  |-  Rel  ( C  Func  D )
33 brrelex12 4726 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
3432, 33mpan 651 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
35 breq12 4028 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f ( C 
Func  D ) g  <->  F ( C  Func  D ) G ) )
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
3736oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3837rneqd 4906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ran  ( x g y )  =  ran  ( x G y ) )
39 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
4039fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4139fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  y
)  =  ( F `
 y ) )
4240, 41oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )
4338, 42eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  <->  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) ) )
44432ralbidv 2585 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
4535, 44anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) )  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
46 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }
4745, 46brabga 4279 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
4834, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
4931, 48bitrd 244 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
5049baibd 875 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  F
( C  Func  D
) G )  -> 
( F ( C Full 
D ) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
5150anidms 626 . 2  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
522, 51biadan2 623 1  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   ran crn 4690   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219   Catccat 13566    Func cfunc 13728   Full cful 13776
This theorem is referenced by:  isfull2  13785  fullpropd  13794  fulloppc  13796  fullres2c  13813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-func 13732  df-full 13778
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