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Theorem isfull 13877
Description: Value of the set of full functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfull.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isfull.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
Assertion
Ref Expression
isfull  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, J, y   
x, F, y    x, G, y

Proof of Theorem isfull
Dummy variables  c 
d  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullfunc 13873 . . 3  |-  ( C Full 
D )  C_  ( C  Func  D )
21ssbri 4144 . 2  |-  ( F ( C Full  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
3 df-br 4103 . . . . . . . 8  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 13830 . . . . . . . 8  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
6 oveq12 5951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( c  Func  d
)  =  ( C 
Func  D ) )
76breqd 4113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( f ( c 
Func  d ) g  <-> 
f ( C  Func  D ) g ) )
8 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  c  =  C )
98fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  ( Base `  C ) )
10 isfull.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  C
)
119, 10syl6eqr 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  B )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  d  =  D )
1312fveq2d 5609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  (  Hom  `  d
)  =  (  Hom  `  D ) )
14 isfull.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
1513, 14syl6eqr 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  (  Hom  `  d
)  =  J )
1615oveqd 5959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) J ( f `  y
) ) )
1716eqeq2d 2369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
1811, 17raleqbidv 2824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
207, 19anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) ) )
2120opabbidv 4161 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( c  Func  d
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  c ) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
22 df-full 13871 . . . . . . . 8  |- Full  =  ( c  e.  Cat , 
d  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) ) } )
23 ovex 5967 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
24 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) )  ->  f ( C 
Func  D ) g )
2524ssopab2i 4371 . . . . . . . . . 10  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  C_  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }
26 opabss 4159 . . . . . . . . . 10  |-  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }  C_  ( C  Func  D )
2725, 26sstri 3264 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  C_  ( C  Func  D )
2823, 27ssexi 4238 . . . . . . . 8  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  e.  _V
2921, 22, 28ovmpt2a 6062 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Full  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
305, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C Full  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
3130breqd 4113 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G
) )
32 relfunc 13829 . . . . . . 7  |-  Rel  ( C  Func  D )
33 brrelex12 4805 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
3432, 33mpan 651 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
35 breq12 4107 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f ( C 
Func  D ) g  <->  F ( C  Func  D ) G ) )
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
3736oveqd 5959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3837rneqd 4985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ran  ( x g y )  =  ran  ( x G y ) )
39 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
4039fveq1d 5607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4139fveq1d 5607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  y
)  =  ( F `
 y ) )
4240, 41oveq12d 5960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )
4338, 42eqeq12d 2372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  <->  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) ) )
44432ralbidv 2661 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
4535, 44anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) )  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
46 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }
4745, 46brabga 4358 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
4834, 47syl 15 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
4931, 48bitrd 244 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
5049baibd 875 . . 3  |-  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  F
( C  Func  D
) G )  -> 
( F ( C Full 
D ) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
5150anidms 626 . 2  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
522, 51biadan2 623 1  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864   <.cop 3719   class class class wbr 4102   {copab 4155   ran crn 4769   Rel wrel 4773   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239    Hom chom 13310   Catccat 13659    Func cfunc 13821   Full cful 13869
This theorem is referenced by:  isfull2  13878  fullpropd  13887  fulloppc  13889  fullres2c  13906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-func 13825  df-full 13871
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