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Theorem isfull 14112
Description: Value of the set of full functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfull.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isfull.j  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
Assertion
Ref Expression
isfull  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, D, y    x, J, y   
x, F, y    x, G, y

Proof of Theorem isfull
Dummy variables  c 
d  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullfunc 14108 . . 3  |-  ( C Full 
D )  C_  ( C  Func  D )
21ssbri 4257 . 2  |-  ( F ( C Full  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
3 df-br 4216 . . . . . . 7  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 14065 . . . . . . 7  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
6 oveq12 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( c  Func  d
)  =  ( C 
Func  D ) )
76breqd 4226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( f ( c 
Func  d ) g  <-> 
f ( C  Func  D ) g ) )
8 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  c  =  C )
98fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  ( Base `  C ) )
10 isfull.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  C
)
119, 10syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( Base `  c
)  =  B )
12 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  d  =  D )
1312fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  (  Hom  `  d
)  =  (  Hom  `  D ) )
14 isfull.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  =  (  Hom  `  D
)
1513, 14syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  (  Hom  `  d
)  =  J )
1615oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  =  ( ( f `
 x ) J ( f `  y
) ) )
1716eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
1811, 17raleqbidv 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) )
207, 19anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) ) )
2120opabbidv 4274 . . . . . . 7  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( f
( c  Func  d
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  c ) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
22 df-full 14106 . . . . . . 7  |- Full  =  ( c  e.  Cat , 
d  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  ( f ( c  Func  d )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  c
) A. y  e.  ( Base `  c
) ran  ( x
g y )  =  ( ( f `  x ) (  Hom  `  d ) ( f `
 y ) ) ) } )
23 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
24 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) )  ->  f ( C 
Func  D ) g )
2524ssopab2i 4485 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  C_  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }
26 opabss 4272 . . . . . . . . 9  |-  { <. f ,  g >.  |  f ( C  Func  D
) g }  C_  ( C  Func  D )
2725, 26sstri 3359 . . . . . . . 8  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  C_  ( C  Func  D )
2823, 27ssexi 4351 . . . . . . 7  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  e.  _V
2921, 22, 28ovmpt2a 6207 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C Full  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
305, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C Full  D )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } )
3130breqd 4226 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G
) )
32 relfunc 14064 . . . . . 6  |-  Rel  ( C  Func  D )
33 brrelex12 4918 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( C  Func  D )  /\  F ( C  Func  D ) G )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
3432, 33mpan 653 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
35 breq12 4220 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f ( C 
Func  D ) g  <->  F ( C  Func  D ) G ) )
36 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
3736oveqd 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3837rneqd 5100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ran  ( x g y )  =  ran  ( x G y ) )
39 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
4039fveq1d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4139fveq1d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  y
)  =  ( F `
 y ) )
4240, 41oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) )
4338, 42eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  <->  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) ) )
44432ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
4535, 44anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) )  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
46 eqid 2438 . . . . . 6  |-  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) }
4745, 46brabga 4472 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( f ( C  Func  D ) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
4834, 47syl 16 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x g y )  =  ( ( f `  x ) J ( f `  y ) ) ) } G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
4931, 48bitrd 246 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  ( F
( C  Func  D
) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) ) )
5049bianabs 852 . 2  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( F ( C Full  D
) G  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
512, 50biadan2 625 1  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   <.cop 3819   class class class wbr 4215   {copab 4268   ran crn 4882   Rel wrel 4886   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474    Hom chom 13545   Catccat 13894    Func cfunc 14056   Full cful 14104
This theorem is referenced by:  isfull2  14113  fullpropd  14122  fulloppc  14124  fullres2c  14141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-func 14060  df-full 14106
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