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Theorem isfuna 25834
Description: The class of functors between the categories  T and  U. (Contributed by FL, 10-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
isfuna.1  |-  O1  =  dom  ( id_ `  T
)
isfuna.2  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  T
)
isfuna.3  |-  D1  =  ( dom_ `  T )
isfuna.4  |-  C1  =  ( cod_ `  T )
isfuna.5  |-  I1  =  ( id_ `  T )
isfuna.6  |-  Ro 1  =  ( o_ `  T )
isfuna.7  |-  O 2  =  dom  ( id_ `  U
)
isfuna.8  |-  M 2  =  dom  ( dom_ `  U
)
isfuna.9  |-  D 2  =  ( dom_ `  U
)
isfuna.10  |-  C 2  =  ( cod_ `  U
)
isfuna.11  |-  I 2  =  ( id_ `  U
)
isfuna.12  |-  Ro 2  =  ( o_ `  U )
Assertion
Ref Expression
isfuna  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  U  e.  Cat OLD  )  ->  ( Func OLD ` 
<. T ,  U >. )  =  { f  e.  ( M 2  ^m  M1 )  |  ( A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
)  /\  ( A. m  e.  M1  ( f `
 ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:    f, m, n, M1    f, M 2    o,
O1    p, O 2    f, o, p, T, m, n    U, f, m, n, o, p
Allowed substitution hints:    O1( f, m, n, p)    M1( o, p)    O 2( f, m, n, o)    M 2( m, n, o, p)    I1( f, m, n, o, p)    D1( f, m, n, o, p)    C1( f, m, n, o, p)    Ro 1( f, m, n, o, p)    I 2( f, m, n, o, p)    D 2( f, m, n, o, p)    C 2( f, m, n, o, p)    Ro 2( f, m, n, o, p)

Proof of Theorem isfuna
Dummy variables  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5861 . 2  |-  ( T
Func OLD U )  =  ( Func OLD `  <. T ,  U >. )
2 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( dom_ `  u )  =  ( dom_ `  U
) )
32dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  dom  ( dom_ `  u )  =  dom  ( dom_ `  U
) )
4 isfuna.8 . . . . . 6  |-  M 2  =  dom  ( dom_ `  U
)
53, 4syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  dom  ( dom_ `  u )  =  M 2 )
6 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( dom_ `  t )  =  ( dom_ `  T
) )
76dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  dom  ( dom_ `  t )  =  dom  ( dom_ `  T
) )
8 isfuna.2 . . . . . 6  |-  M1  =  dom  ( dom_ `  T
)
97, 8syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  dom  ( dom_ `  t )  =  M1 )
105, 9oveqan12rd 5878 . . . 4  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( dom  ( dom_ `  u )  ^m  dom  ( dom_ `  t )
)  =  ( M 2  ^m  M1 )
)
11 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( id_ `  t )  =  ( id_ `  T
) )
1211dmeqd 4881 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  dom  ( id_ `  t )  =  dom  ( id_ `  T ) )
13 isfuna.1 . . . . . . . . 9  |-  O1  =  dom  ( id_ `  T
)
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  O1  =  dom  ( id_ `  T
) )
1514eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  dom  ( id_ `  T )  =  O1 )
1612, 15sylan9eq 2335 . . . . . 6  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  dom  ( id_ `  t
)  =  O1 )
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( id_ `  u )  =  ( id_ `  U
) )
1817dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  dom  ( id_ `  u )  =  dom  ( id_ `  U ) )
19 isfuna.7 . . . . . . . . 9  |-  O 2  =  dom  ( id_ `  U
)
2018, 19syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  dom  ( id_ `  u )  =  O 2 )
2120adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  dom  ( id_ `  u
)  =  O 2
)
2211fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( id_ `  t
) `  o )  =  ( ( id_ `  T ) `  o
) )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
f `  ( ( id_ `  t ) `  o ) )  =  ( f `  (
( id_ `  T
) `  o )
) )
2423eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  (
( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  <->  ( f `  ( ( id_ `  T
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p ) ) )
25 isfuna.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  I1  =  ( id_ `  T )
2625a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  I1  =  ( id_ `  T ) )
2726eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  ( id_ `  T )  = 
I1 )
2827fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  T
) `  o )  =  ( I1 `  o
) )
2928fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
f `  ( ( id_ `  T ) `  o ) )  =  ( f `  ( I1 `  o ) ) )
30 isfuna.11 . . . . . . . . . . 11  |-  I 2  =  ( id_ `  U
)
3117, 30syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( id_ `  u )  =  I 2 )
3231fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  u
) `  p )  =  ( I 2 `  p ) )
3329, 32eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( f `  (
( id_ `  T
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  <->  ( f `  ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
) ) )
3424, 33sylan9bb 680 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( f `  ( ( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  <->  ( f `  ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
) ) )
3521, 34rexeqbidv 2749 . . . . . 6  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( E. p  e. 
dom  ( id_ `  u
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  <->  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
) ) )
3616, 35raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( A. o  e. 
dom  ( id_ `  t
) E. p  e. 
dom  ( id_ `  u
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  <->  A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
) ) )
379adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  dom  ( dom_ `  t
)  =  M1 )
3811, 25syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  ( id_ `  t )  = 
I1 )
39 isfuna.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  D1  =  ( dom_ `  T )
406, 39syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( dom_ `  t )  = 
D1 )
4140fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( dom_ `  t ) `  m )  =  (
D1 `  m )
)
4238, 41fveq12d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) )  =  ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )
4342fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
f `  ( ( id_ `  t ) `  ( ( dom_ `  t
) `  m )
) )  =  ( f `  ( I1 `  ( D1 `  m
) ) ) )
4417fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  u
) `  ( ( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  =  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) )
452fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) )  =  ( ( dom_ `  U
) `  ( f `  m ) ) )
4645fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  =  ( ( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  ( f `  m
) ) ) )
4730a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  I 2  =  ( id_ `  U ) )
4847eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  ( id_ `  U )  =  I 2 )
49 isfuna.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D 2  =  ( dom_ `  U
)
5049a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  D 2  =  ( dom_ `  U ) )
5150eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  ( dom_ `  U )  =  D 2 )
5251fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( dom_ `  U ) `  ( f `  m
) )  =  ( D 2 `  (
f `  m )
) )
5348, 52fveq12d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  U
) `  ( ( dom_ `  U ) `  ( f `  m
) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  (
f `  m )
) ) )
5444, 46, 533eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  u
) `  ( ( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  (
f `  m )
) ) )
5543, 54eqeqan12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( f `  ( ( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  ( f `  ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) ) ) )
5637, 55raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `  m
) ) ) ) )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  ( cod_ `  t )  =  ( cod_ `  T
) )
5857fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  (
( cod_ `  t ) `  m )  =  ( ( cod_ `  T
) `  m )
)
5911, 58fveq12d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( id_ `  t
) `  ( ( cod_ `  t ) `  m ) )  =  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )
6059fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
f `  ( ( id_ `  t ) `  ( ( cod_ `  t
) `  m )
) )  =  ( f `  ( ( id_ `  T ) `
 ( ( cod_ `  T ) `  m
) ) ) )
6160eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  (
( id_ `  t
) `  ( ( cod_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  ( f `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) ) )
627, 61raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  t )
( f `  (
( id_ `  t
) `  ( ( cod_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  A. m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( f `  ( ( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) ) )
638a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  M1  =  dom  ( dom_ `  T
) )
6463eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
m  e.  M1  <->  m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
6564bicomd 192 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
m  e.  dom  ( dom_ `  T )  <->  m  e.  M1 ) )
66 isfuna.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C1  =  ( cod_ `  T )
6766a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  U  ->  C1  =  ( cod_ `  T )
)
6867eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  U  ->  ( cod_ `  T )  = 
C1 )
6968fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  (
( cod_ `  T ) `  m )  =  (
C1 `  m )
)
7027, 69fveq12d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) )  =  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )
7170fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
f `  ( ( id_ `  T ) `  ( ( cod_ `  T
) `  m )
) )  =  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m
) ) ) )
72 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  U  ->  ( cod_ `  u )  =  ( cod_ `  U
) )
73 isfuna.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C 2  =  ( cod_ `  U
)
7472, 73syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  ( cod_ `  u )  =  C 2 )
7574fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) )  =  ( C 2 `  (
f `  m )
) )
7631, 75fveq12d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( id_ `  u
) `  ( ( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  (
f `  m )
) ) )
7771, 76eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( f `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `
 m ) ) ) ) )
7865, 77imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( m  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  ( f `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) )  <-> 
( m  e.  M1  ->  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m
) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  (
f `  m )
) ) ) ) )
7978ralbidv2 2565 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( f `  (
( id_ `  T
) `  ( ( cod_ `  T ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) ) )
8062, 79sylan9bb 680 . . . . . 6  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  ( ( cod_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  <->  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) ) )
8156, 80anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  t
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  t ) ( f `  ( ( id_ `  t ) `
 ( ( cod_ `  t ) `  m
) ) )  =  ( ( id_ `  u
) `  ( ( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) )  <-> 
( A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( D1 `  m
) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  (
f `  m )
) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `
 ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `
 m ) ) ) ) ) )
8257, 66syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( cod_ `  t )  = 
C1 )
8382fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
( cod_ `  t ) `  n )  =  (
C1 `  n )
)
8483, 41eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( ( cod_ `  t
) `  n )  =  ( ( dom_ `  t ) `  m
)  <->  ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m ) ) )
8584adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( ( cod_ `  t ) `  n
)  =  ( (
dom_ `  t ) `  m )  <->  ( C1 `  n )  =  (
D1 `  m )
) )
86 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  (
o_ `  t )  =  ( o_ `  T ) )
87 isfuna.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ro 1  =  ( o_ `  T )
8886, 87syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  (
o_ `  t )  =  Ro 1 )
8988oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  (
m ( o_ `  t ) n )  =  ( m Ro
1 n ) )
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
f `  ( m
( o_ `  t
) n ) )  =  ( f `  ( m Ro 1
n ) ) )
91 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  (
o_ `  u )  =  ( o_ `  U ) )
92 isfuna.12 . . . . . . . . . . 11  |-  Ro 2  =  ( o_ `  U )
9391, 92syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
o_ `  u )  =  Ro 2 )
9493oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( f `  m
) ( o_ `  u ) ( f `
 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) )
9590, 94eqeqan12d 2298 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( f `  ( m ( o_
`  t ) n ) )  =  ( ( f `  m
) ( o_ `  u ) ( f `
 n ) )  <-> 
( f `  (
m Ro 1 n
) )  =  ( ( f `  m
) Ro 2 (
f `  n )
) ) )
9685, 95imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( ( (
cod_ `  t ) `  n )  =  ( ( dom_ `  t
) `  m )  ->  ( f `  (
m ( o_ `  t ) n ) )  =  ( ( f `  m ) ( o_ `  u
) ( f `  n ) ) )  <-> 
( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) )
9737, 96raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( A. n  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( ( (
cod_ `  t ) `  n )  =  ( ( dom_ `  t
) `  m )  ->  ( f `  (
m ( o_ `  t ) n ) )  =  ( ( f `  m ) ( o_ `  u
) ( f `  n ) ) )  <->  A. n  e.  M1  (
( C1 `  n )  =  ( D1 `  m
)  ->  ( f `  ( m Ro 1
n ) )  =  ( ( f `  m ) Ro 2
( f `  n
) ) ) ) )
9837, 97raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( A. m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) A. n  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( ( (
cod_ `  t ) `  n )  =  ( ( dom_ `  t
) `  m )  ->  ( f `  (
m ( o_ `  t ) n ) )  =  ( ( f `  m ) ( o_ `  u
) ( f `  n ) ) )  <->  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n )  =  (
D1 `  m )  ->  ( f `  (
m Ro 1 n
) )  =  ( ( f `  m
) Ro 2 (
f `  n )
) ) ) )
9936, 81, 983anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  ( ( A. o  e.  dom  ( id_ `  t
) E. p  e. 
dom  ( id_ `  u
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  /\  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  t )
( f `  (
( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  t ) ( f `  ( ( id_ `  t ) `
 ( ( cod_ `  t ) `  m
) ) )  =  ( ( id_ `  u
) `  ( ( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) A. n  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( ( (
cod_ `  t ) `  n )  =  ( ( dom_ `  t
) `  m )  ->  ( f `  (
m ( o_ `  t ) n ) )  =  ( ( f `  m ) ( o_ `  u
) ( f `  n ) ) ) )  <->  ( A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
)  /\  ( A. m  e.  M1  ( f `
 ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) ) )
10010, 99rabeqbidv 2783 . . 3  |-  ( ( t  =  T  /\  u  =  U )  ->  { f  e.  ( dom  ( dom_ `  u
)  ^m  dom  ( dom_ `  t ) )  |  ( A. o  e. 
dom  ( id_ `  t
) E. p  e. 
dom  ( id_ `  u
) ( f `  ( ( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  /\  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  t )
( f `  (
( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  t ) ( f `  ( ( id_ `  t ) `
 ( ( cod_ `  t ) `  m
) ) )  =  ( ( id_ `  u
) `  ( ( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) A. n  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( ( (
cod_ `  t ) `  n )  =  ( ( dom_ `  t
) `  m )  ->  ( f `  (
m ( o_ `  t ) n ) )  =  ( ( f `  m ) ( o_ `  u
) ( f `  n ) ) ) ) }  =  {
f  e.  ( M 2  ^m  M1 )  |  ( A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
)  /\  ( A. m  e.  M1  ( f `
 ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) } )
101 df-funcOLD 25833 . . 3  |-  Func OLD  =  ( t  e. 
Cat OLD  ,  u  e.  Cat OLD  |->  { f  e.  ( dom  ( dom_ `  u )  ^m  dom  ( dom_ `  t
) )  |  ( A. o  e.  dom  ( id_ `  t ) E. p  e.  dom  ( id_ `  u ) ( f `  (
( id_ `  t
) `  o )
)  =  ( ( id_ `  u ) `
 p )  /\  ( A. m  e.  dom  ( dom_ `  t )
( f `  (
( id_ `  t
) `  ( ( dom_ `  t ) `  m ) ) )  =  ( ( id_ `  u ) `  (
( dom_ `  u ) `  ( f `  m
) ) )  /\  A. m  e.  dom  ( dom_ `  t ) ( f `  ( ( id_ `  t ) `
 ( ( cod_ `  t ) `  m
) ) )  =  ( ( id_ `  u
) `  ( ( cod_ `  u ) `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) A. n  e. 
dom  ( dom_ `  t
) ( ( (
cod_ `  t ) `  n )  =  ( ( dom_ `  t
) `  m )  ->  ( f `  (
m ( o_ `  t ) n ) )  =  ( ( f `  m ) ( o_ `  u
) ( f `  n ) ) ) ) } )
102 ovex 5883 . . . 4  |-  ( M 2  ^m  M1 )  e.  _V
103102rabex 4165 . . 3  |-  { f  e.  ( M 2  ^m  M1 )  |  ( A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2 
( f `  ( I1 `  o ) )  =  ( I 2 `  p )  /\  ( A. m  e.  M1  (
f `  ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) }  e.  _V
104100, 101, 103ovmpt2a 5978 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  U  e.  Cat OLD  )  ->  ( T Func OLD U )  =  {
f  e.  ( M 2  ^m  M1 )  |  ( A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
)  /\  ( A. m  e.  M1  ( f `
 ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) } )
1051, 104syl5eqr 2329 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  U  e.  Cat OLD  )  ->  ( Func OLD ` 
<. T ,  U >. )  =  { f  e.  ( M 2  ^m  M1 )  |  ( A. o  e.  O1  E. p  e.  O 2  ( f `
 ( I1 `  o
) )  =  ( I 2 `  p
)  /\  ( A. m  e.  M1  ( f `
 ( I1 `  ( D1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( D 2 `  ( f `
 m ) ) )  /\  A. m  e.  M1  ( f `  ( I1 `  ( C1 `  m ) ) )  =  ( I 2 `  ( C 2 `  ( f `  m
) ) ) )  /\  A. m  e.  M1  A. n  e.  M1  ( ( C1 `  n
)  =  ( D1 `  m )  ->  (
f `  ( m Ro 1 n ) )  =  ( ( f `
 m ) Ro
2 ( f `  n ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715    Cat
OLD ccatOLD 25752   Func
OLDcfuncOLD 25831
This theorem is referenced by:  isfunb  25835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-funcOLD 25833
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