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Theorem isfunc 13989
Description: Value of the set of functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
isfunc.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
isfunc.h  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
isfunc.j  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
isfunc.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
isfunc.i  |-  I  =  ( Id `  E
)
isfunc.x  |-  .x.  =  (comp `  D )
isfunc.o  |-  O  =  (comp `  E )
isfunc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
isfunc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
isfunc  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, z, B    D, m, n, x, y, z   
m, E, n, x, y, z    m, H, n, x, y, z   
m, F, n, x, y, z    m, G, n, x, y, z   
x, J, y, z    ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, m, n)    .x. ( x, y, z, m, n)    .1. ( x, y, z, m, n)    I( x, y, z, m, n)    J( m, n)    O( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem isfunc
Dummy variables  b 
d  e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfunc.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2 isfunc.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3 fvex 5683 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  d )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  e.  _V )
5 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  d  =  D )
65fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  =  ( Base `  D ) )
7 isfunc.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  D
)
86, 7syl6eqr 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  =  B )
9 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  b  =  B )
10 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  e  =  E )
1110fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Base `  e )  =  ( Base `  E
) )
12 isfunc.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( Base `  E
)
1311, 12syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Base `  e )  =  C )
149, 13feq23d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
f : b --> (
Base `  e )  <->  f : B --> C ) )
15 fvex 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  E )  e.  _V
1612, 15eqeltri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
_V
17 fvex 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  D )  e.  _V
187, 17eqeltri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
1916, 18elmap 6979 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( C  ^m  B )  <->  f : B
--> C )
2014, 19syl6bbr 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
f : b --> (
Base `  e )  <->  f  e.  ( C  ^m  B ) ) )
219, 9xpeq12d 4844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
b  X.  b )  =  ( B  X.  B ) )
2221ixpeq1d 7011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  e ) ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d
) `  z )
) )
2310fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  e )  =  (  Hom  `  E
) )
24 isfunc.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
2523, 24syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  e )  =  J )
2625oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) ) )
27 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  d  =  D )
2827fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  d )  =  (  Hom  `  D
) )
29 isfunc.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
3028, 29syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  d )  =  H )
3130fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
(  Hom  `  d ) `
 z )  =  ( H `  z
) )
3226, 31oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  =  ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
3332ixpeq2dv 7015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
3422, 33eqtrd 2420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
3534eleq2d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  <->  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
3627fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  d )  =  ( Id `  D
) )
37 isfunc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .1.  =  ( Id `  D )
3836, 37syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  d )  =  .1.  )
3938fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( Id `  d
) `  x )  =  (  .1.  `  x
) )
4039fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `
 x ) )  =  ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
) )
4110fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  e )  =  ( Id `  E
) )
42 isfunc.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( Id `  E
)
4341, 42syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  e )  =  I )
4443fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
) )
4540, 44eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( x g x ) `  (
( Id `  d
) `  x )
)  =  ( ( Id `  e ) `
 ( f `  x ) )  <->  ( (
x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
) ) )
4630oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
x (  Hom  `  d
) y )  =  ( x H y ) )
4730oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
y (  Hom  `  d
) z )  =  ( y H z ) )
4827fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  d )  =  (comp `  D ) )
49 isfunc.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  .x.  =  (comp `  D )
5048, 49syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  d )  =  .x.  )
5150oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  d )
z )  =  (
<. x ,  y >.  .x.  z ) )
5251oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m )  =  ( n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )
5352fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) ) )
5410fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  e )  =  (comp `  E ) )
55 isfunc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  O  =  (comp `  E )
5654, 55syl6eqr 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  e )  =  O )
5756oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( <. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) )  =  (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) )
5857oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. (comp `  e ) ( f `
 z ) ) ( ( x g y ) `  m
) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )
5953, 58eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <-> 
( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6047, 59raleqbidv 2860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. n  e.  (
y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. n  e.  (
y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6146, 60raleqbidv 2860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
629, 61raleqbidv 2860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. z  e.  b  A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
639, 62raleqbidv 2860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6445, 63anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( ( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `  x
) )  =  ( ( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x
(  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) )  <->  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
659, 64raleqbidv 2860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. x  e.  b 
( ( ( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `  x
) )  =  ( ( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x
(  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
6620, 35, 653anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
67 df-3an 938 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
6866, 67syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
694, 8, 68sbcied2 3142 . . . . . 6  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( [. ( Base `  d )  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
7069opabbidv 4213 . . . . 5  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  { <. f ,  g
>.  |  [. ( Base `  d )  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
71 df-func 13983 . . . . 5  |-  Func  =  ( d  e.  Cat ,  e  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  d
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
72 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
73 snex 4347 . . . . . . . 8  |-  { f }  e.  _V
74 ovex 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V
7574rgenw 2717 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  e.  _V
76 ixpexg 7023 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V  ->  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V )
7775, 76ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  e.  _V
7873, 77xpex 4931 . . . . . . 7  |-  ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  e.  _V
7972, 78iunex 5931 . . . . . 6  |-  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  e.  _V
80 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8180anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )  ->  (
d  =  <. f ,  g >.  /\  (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) ) )
82812eximi 1583 . . . . . . . 8  |-  ( E. f E. g ( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )  ->  E. f E. g ( d  = 
<. f ,  g >.  /\  ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) ) )
83 elopab 4404 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  <->  E. f E. g ( d  = 
<. f ,  g >.  /\  ( ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
84 eliunxp 4953 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  <->  E. f E. g
( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) ) )
8582, 83, 843imtr4i 258 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  ->  d  e.  U_ f  e.  ( C  ^m  B ) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8685ssriv 3296 . . . . . 6  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  C_  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
8779, 86ssexi 4290 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  e.  _V
8870, 71, 87ovmpt2a 6144 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )  ->  ( D  Func  E
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
891, 2, 88syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  Func  E
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
9089breqd 4165 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G ) )
91 brabv 6060 . . . 4  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
92 elex 2908 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C  ^m  B )  ->  F  e.  _V )
93 elex 2908 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  ->  G  e.  _V )
9492, 93anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
95943adant3 977 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
96 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
9796eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
F  e.  ( C  ^m  B ) ) )
98 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
9996fveq1d 5671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `  ( 1st `  z ) ) )
10096fveq1d 5671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `  ( 2nd `  z ) ) )
10199, 100oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
102101oveq1d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
103102ixpeq2dv 7015 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  -> 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
10498, 103eleq12d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) )
10598oveqd 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g x )  =  ( x G x ) )
106105fveq1d 5671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x )
) )
10796fveq1d 5671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
108107fveq2d 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( I `  (
f `  x )
)  =  ( I `
 ( F `  x ) ) )
109106, 108eqeq12d 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( f `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) ) )
11098oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g z )  =  ( x G z ) )
111110fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) ) )
11296fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  y
)  =  ( F `
 y ) )
113107, 112opeq12d 3935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  -> 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. )
11496fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  z
)  =  ( F `
 z ) )
115113, 114oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) )  =  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) )
11698oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( y g z )  =  ( y G z ) )
117116fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( y g z ) `  n
)  =  ( ( y G z ) `
 n ) )
11898oveqd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
119118fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g y ) `  m
)  =  ( ( x G y ) `
 m ) )
120115, 117, 119oveq123d 6042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
121111, 120eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
1221212ralbidv 2692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `
 n ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
1231222ralbidv 2692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `
 n ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
124109, 123anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )  <->  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
125124ralbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
12697, 104, 1253anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
12767, 126syl5bbr 251 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
128 eqid 2388 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }
129127, 128brabga 4411 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
13091, 95, 129pm5.21nii 343 . . 3  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
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f `  x )
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>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
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 ( 2nd `  z
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( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
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 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
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>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
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 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
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x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
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--> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900   [.wsbc 3105   {csn 3758   <.cop 3761   U_ciun 4036   class class class wbr 4154   {copab 4207    X. cxp 4817   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   1stc1st 6287   2ndc2nd 6288    ^m cmap 6955   X_cixp 7000   Basecbs 13397    Hom chom 13468  compcco 13469   Catccat 13817   Idccid 13818    Func cfunc 13979
This theorem is referenced by:  isfuncd  13990  funcf1  13991  funcixp  13992  funcid  13995  funcco  13996  idfucl  14006  cofucl  14013  funcres2b  14022  funcpropd  14025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-ixp 7001  df-func 13983
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