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Theorem isfunc 14066
Description: Value of the set of functors between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
isfunc.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
isfunc.h  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
isfunc.j  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
isfunc.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
isfunc.i  |-  I  =  ( Id `  E
)
isfunc.x  |-  .x.  =  (comp `  D )
isfunc.o  |-  O  =  (comp `  E )
isfunc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
isfunc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
Assertion
Ref Expression
isfunc  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, z, B    D, m, n, x, y, z   
m, E, n, x, y, z    m, H, n, x, y, z   
m, F, n, x, y, z    m, G, n, x, y, z   
x, J, y, z    ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, m, n)    .x. ( x, y, z, m, n)    .1. ( x, y, z, m, n)    I( x, y, z, m, n)    J( m, n)    O( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem isfunc
Dummy variables  b 
d  e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfunc.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2 isfunc.e . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
3 fvex 5745 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  d )  e.  _V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  e.  _V )
5 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  d  =  D )
65fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  =  ( Base `  D ) )
7 isfunc.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  D
)
86, 7syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( Base `  d
)  =  B )
9 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  b  =  B )
10 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  e  =  E )
1110fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Base `  e )  =  ( Base `  E
) )
12 isfunc.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( Base `  E
)
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Base `  e )  =  C )
149, 13feq23d 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
f : b --> (
Base `  e )  <->  f : B --> C ) )
15 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  E )  e.  _V
1612, 15eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e. 
_V
17 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  D )  e.  _V
187, 17eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
1916, 18elmap 7045 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( C  ^m  B )  <->  f : B
--> C )
2014, 19syl6bbr 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
f : b --> (
Base `  e )  <->  f  e.  ( C  ^m  B ) ) )
219, 9xpeq12d 4906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
b  X.  b )  =  ( B  X.  B ) )
2221ixpeq1d 7077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) (  Hom  `  e ) ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d
) `  z )
) )
2310fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  e )  =  (  Hom  `  E
) )
24 isfunc.j . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
2523, 24syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  e )  =  J )
2625oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) ) )
27 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  d  =  D )
2827fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  d )  =  (  Hom  `  D
) )
29 isfunc.h . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
3028, 29syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (  Hom  `  d )  =  H )
3130fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
(  Hom  `  d ) `
 z )  =  ( H `  z
) )
3226, 31oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  =  ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
3332ixpeq2dv 7081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
3422, 33eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
3534eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e )
( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( (  Hom  `  d ) `  z ) )  <->  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
3627fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  d )  =  ( Id `  D
) )
37 isfunc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .1.  =  ( Id `  D )
3836, 37syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  d )  =  .1.  )
3938fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( Id `  d
) `  x )  =  (  .1.  `  x
) )
4039fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `
 x ) )  =  ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
) )
4110fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  e )  =  ( Id `  E
) )
42 isfunc.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( Id `  E
)
4341, 42syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( Id `  e )  =  I )
4443fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
) )
4540, 44eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( x g x ) `  (
( Id `  d
) `  x )
)  =  ( ( Id `  e ) `
 ( f `  x ) )  <->  ( (
x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
) ) )
4630oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
x (  Hom  `  d
) y )  =  ( x H y ) )
4730oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
y (  Hom  `  d
) z )  =  ( y H z ) )
4827fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  d )  =  (comp `  D ) )
49 isfunc.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  .x.  =  (comp `  D )
5048, 49syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  d )  =  .x.  )
5150oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  d )
z )  =  (
<. x ,  y >.  .x.  z ) )
5251oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m )  =  ( n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )
5352fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) ) )
5410fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  e )  =  (comp `  E ) )
55 isfunc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  O  =  (comp `  E )
5654, 55syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (comp `  e )  =  O )
5756oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( <. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) )  =  (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) )
5857oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. (comp `  e ) ( f `
 z ) ) ( ( x g y ) `  m
) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )
5953, 58eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <-> 
( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6047, 59raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. n  e.  (
y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. n  e.  (
y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6146, 60raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
629, 61raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. z  e.  b  A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
639, 62raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  (
x (  Hom  `  d
) y ) A. n  e.  ( y
(  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.
(comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `
 n ) (
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )
6445, 63anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( ( ( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `  x
) )  =  ( ( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x
(  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) )  <->  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
659, 64raleqbidv 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  ( A. x  e.  b 
( ( ( x g x ) `  ( ( Id `  d ) `  x
) )  =  ( ( Id `  e
) `  ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x
(  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d ) z ) ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >. (comp `  d ) z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.
(comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( f `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
6620, 35, 653anbi123d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
67 df-3an 939 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )
6866, 67syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  /\  b  =  B )  ->  (
( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
694, 8, 68sbcied2 3200 . . . . . 6  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  ( [. ( Base `  d )  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) )  <->  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
7069opabbidv 4274 . . . . 5  |-  ( ( d  =  D  /\  e  =  E )  ->  { <. f ,  g
>.  |  [. ( Base `  d )  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) }  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
71 df-func 14060 . . . . 5  |-  Func  =  ( d  e.  Cat ,  e  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  d
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  e
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  e
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  d ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  d ) `  x ) )  =  ( ( Id `  e ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  d ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  d
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  d )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  e )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
72 ovex 6109 . . . . . . 7  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
73 snex 4408 . . . . . . . 8  |-  { f }  e.  _V
74 ovex 6109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V
7574rgenw 2775 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  e.  _V
76 ixpexg 7089 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V  ->  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  e.  _V )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  e.  _V
7873, 77xpex 4993 . . . . . . 7  |-  ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  e.  _V
7972, 78iunex 5994 . . . . . 6  |-  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  e.  _V
80 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8180anim2i 554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )  ->  (
d  =  <. f ,  g >.  /\  (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) ) )
82812eximi 1587 . . . . . . . 8  |-  ( E. f E. g ( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) )  ->  E. f E. g ( d  = 
<. f ,  g >.  /\  ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) ) )
83 elopab 4465 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  <->  E. f E. g ( d  = 
<. f ,  g >.  /\  ( ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) ) )
84 eliunxp 5015 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  <->  E. f E. g
( d  =  <. f ,  g >.  /\  (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) ) )
8582, 83, 843imtr4i 259 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  ->  d  e.  U_ f  e.  ( C  ^m  B ) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8685ssriv 3354 . . . . . 6  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  C_  U_ f  e.  ( C  ^m  B
) ( { f }  X.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
8779, 86ssexi 4351 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  e.  _V
8870, 71, 87ovmpt2a 6207 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )  ->  ( D  Func  E
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
891, 2, 88syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  Func  E
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } )
9089breqd 4226 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  F { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G ) )
91 brabv 6123 . . . 4  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
92 elex 2966 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( C  ^m  B )  ->  F  e.  _V )
93 elex 2966 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  ->  G  e.  _V )
9492, 93anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
95943adant3 978 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( C  ^m  B )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
96 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  f  =  F )
9796eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
F  e.  ( C  ^m  B ) ) )
98 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  g  =  G )
9996fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `  ( 1st `  z ) ) )
10096fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `  ( 2nd `  z ) ) )
10199, 100oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
102101oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
103102ixpeq2dv 7081 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  -> 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  = 
X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )
10498, 103eleq12d 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) ) )
10598oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g x )  =  ( x G x ) )
106105fveq1d 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x )
) )
10796fveq1d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  x
)  =  ( F `
 x ) )
108107fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( I `  (
f `  x )
)  =  ( I `
 ( F `  x ) ) )
109106, 108eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( x g x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( f `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) ) )
11098oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g z )  =  ( x G z ) )
111110fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) ) )
11296fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  y
)  =  ( F `
 y ) )
113107, 112opeq12d 3994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  -> 
<. ( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. )
11496fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( f `  z
)  =  ( F `
 z ) )
115113, 114oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) )  =  ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) )
11698oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( y g z )  =  ( y G z ) )
117116fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( y g z ) `  n
)  =  ( ( y G z ) `
 n ) )
11898oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
119118fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( x g y ) `  m
)  =  ( ( x G y ) `
 m ) )
120115, 117, 119oveq123d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <.
( f `  x
) ,  ( f `
 y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
121111, 120eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
1221212ralbidv 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `
 n ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
1231222ralbidv 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  (
x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
n ( <. x ,  y >.  .x.  z
) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `
 n ) (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
124109, 123anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )  <->  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
125124ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
12697, 104, 1253anbi123d 1255 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( f  e.  ( C  ^m  B
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
12767, 126syl5bbr 252 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  g  =  G )  ->  ( ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
128 eqid 2438 . . . . 5  |-  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `
 ( 1st `  z
) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x g x ) `
 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) }
129127, 128brabga 4472 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  g >.  |  ( ( f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) J ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )  /\  A. x  e.  B  (
( ( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( f `  x
) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n
) ( <. (
f `  x ) ,  ( f `  y ) >. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
13091, 95, 129pm5.21nii 344 . . 3  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
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f `  x )
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>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F  e.  ( C  ^m  B
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 ( 2nd `  z
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( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
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 (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
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x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) )
133130, 132bitri 242 . 2  |-  ( F { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  ( C  ^m  B )  /\  g  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
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( x g x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  (
f `  x )
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>. O ( f `  z ) ) ( ( x g y ) `  m ) ) ) ) } G  <->  ( F : B
--> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
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Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
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>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163   {csn 3816   <.cop 3819   U_ciun 4095   class class class wbr 4215   {copab 4268    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351    ^m cmap 7021   X_cixp 7066   Basecbs 13474    Hom chom 13545  compcco 13546   Catccat 13894   Idccid 13895    Func cfunc 14056
This theorem is referenced by:  isfuncd  14067  funcf1  14068  funcixp  14069  funcid  14072  funcco  14073  idfucl  14083  cofucl  14090  funcres2b  14099  funcpropd  14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-ixp 7067  df-func 14060
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