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Theorem isfuncd 14025
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
isfunc.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
isfunc.h  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
isfunc.j  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
isfunc.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
isfunc.i  |-  I  =  ( Id `  E
)
isfunc.x  |-  .x.  =  (comp `  D )
isfunc.o  |-  O  =  (comp `  E )
isfunc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
isfunc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
isfuncd.1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
isfuncd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( B  X.  B ) )
isfuncd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) )
isfuncd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) )
isfuncd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( (
x G z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
Assertion
Ref Expression
isfuncd  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, z, B    D, m, n, x, y, z   
m, E, n, x, y, z    m, H, n, x, y, z   
m, F, n, x, y, z    m, G, n, x, y, z   
x, J, y, z    ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, m, n)    .x. ( x, y, z, m, n)    .1. ( x, y, z, m, n)    I( x, y, z, m, n)    J( m, n)    O( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
2 isfuncd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( B  X.  B ) )
3 isfunc.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  D
)
4 fvex 5709 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
53, 4eqeltri 2482 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
65, 5xpex 4957 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
7 fnex 5928 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B
)  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
82, 6, 7sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
9 isfuncd.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) )
10 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  e. 
_V
11 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( x H y )  e. 
_V
1210, 11elmap 7009 . . . . . 6  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
139, 12sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y )  e.  ( ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
1413ralrimivva 2766 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
15 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
16 df-ov 6051 . . . . . . 7  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
1715, 16syl6eqr 2462 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
18 vex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
19 vex 2927 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2018, 19op1std 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
2120fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
2218, 19op2ndd 6325 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
2322fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
2421, 23oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
25 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
26 df-ov 6051 . . . . . . . 8  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
2725, 26syl6eqr 2462 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
2824, 27oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
2917, 28eleq12d 2480 . . . . 5  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  ^m  (
x H y ) ) ) )
3029ralxp 4983 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( B  X.  B ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y )  e.  ( ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  ^m  (
x H y ) ) )
3114, 30sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  X.  B ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )
32 elixp2 7033 . . 3  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. z  e.  ( B  X.  B
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
338, 2, 31, 32syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
34 isfuncd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) )
35 isfuncd.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( (
x G z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
36353expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  (
( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
37363exp2 1171 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( ( m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  (
( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) ) )
3837imp43 579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
3938ralrimivv 2765 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
4039ralrimivva 2766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
4134, 40jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
4241ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
43 isfunc.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  E
)
44 isfunc.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
45 isfunc.j . . 3  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
46 isfunc.1 . . 3  |-  .1.  =  ( Id `  D )
47 isfunc.i . . 3  |-  I  =  ( Id `  E
)
48 isfunc.x . . 3  |-  .x.  =  (comp `  D )
49 isfunc.o . . 3  |-  O  =  (comp `  E )
50 isfunc.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
51 isfunc.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
523, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51isfunc 14024 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
531, 33, 42, 52mpbir3and 1137 1  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924   <.cop 3785   class class class wbr 4180    X. cxp 4843    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1stc1st 6314   2ndc2nd 6315    ^m cmap 6985   X_cixp 7030   Basecbs 13432    Hom chom 13503  compcco 13504   Catccat 13852   Idccid 13853    Func cfunc 14014
This theorem is referenced by:  funcoppc  14035  funcres  14056  catcisolem  14224  1stfcl  14257  2ndfcl  14258  prfcl  14263  evlfcl  14282  curf1cl  14288  curfcl  14292  hofcl  14319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-map 6987  df-ixp 7031  df-func 14018
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