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Theorem isfuncd 13739
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
isfunc.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
isfunc.h  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
isfunc.j  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
isfunc.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
isfunc.i  |-  I  =  ( Id `  E
)
isfunc.x  |-  .x.  =  (comp `  D )
isfunc.o  |-  O  =  (comp `  E )
isfunc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
isfunc.e  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
isfuncd.1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
isfuncd.2  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( B  X.  B ) )
isfuncd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) )
isfuncd.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) )
isfuncd.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( (
x G z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
Assertion
Ref Expression
isfuncd  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Distinct variable groups:    m, n, x, y, z, B    D, m, n, x, y, z   
m, E, n, x, y, z    m, H, n, x, y, z   
m, F, n, x, y, z    m, G, n, x, y, z   
x, J, y, z    ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, m, n)    .x. ( x, y, z, m, n)    .1. ( x, y, z, m, n)    I( x, y, z, m, n)    J( m, n)    O( x, y, z, m, n)

Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
2 isfuncd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( B  X.  B ) )
3 isfunc.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  D
)
4 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
53, 4eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
65, 5xpex 4801 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
7 fnex 5741 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B
)  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
82, 6, 7sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
9 isfuncd.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) ) )
10 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  e. 
_V
11 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( x H y )  e. 
_V
1210, 11elmap 6796 . . . . . 6  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
139, 12sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x G y )  e.  ( ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
1413ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x
) J ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
16 df-ov 5861 . . . . . . 7  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
1715, 16syl6eqr 2333 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
18 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
19 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
2018, 19op1std 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
2120fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
2218, 19op2ndd 6131 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
2421, 23oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
26 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
2725, 26syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
2824, 27oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) J ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
2917, 28eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  ^m  (
x H y ) ) ) )
3029ralxp 4827 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( B  X.  B ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x G y )  e.  ( ( ( F `
 x ) J ( F `  y
) )  ^m  (
x H y ) ) )
3114, 30sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  X.  B ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) )
32 elixp2 6820 . . 3  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. z  e.  ( B  X.  B
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
338, 2, 31, 32syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) ) )
34 isfuncd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x )
) )
35 isfuncd.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( (
x G z ) `
 ( n (
<. x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
36353expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  (
( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
37363exp2 1169 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( ( m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  (
( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) ) )
3837imp43 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
m  e.  ( x H y )  /\  n  e.  ( y H z ) )  ->  ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
3938ralrimivv 2634 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
4039ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) )
4134, 40jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
4241ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x )
)  =  ( I `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) )
43 isfunc.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  E
)
44 isfunc.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  D
)
45 isfunc.j . . 3  |-  J  =  (  Hom  `  E
)
46 isfunc.1 . . 3  |-  .1.  =  ( Id `  D )
47 isfunc.i . . 3  |-  I  =  ( Id `  E
)
48 isfunc.x . . 3  |-  .x.  =  (comp `  D )
49 isfunc.o . . 3  |-  O  =  (comp `  E )
50 isfunc.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
51 isfunc.e . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
523, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51isfunc 13738 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) J ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `  (  .1.  `  x ) )  =  ( I `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x H y ) A. n  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. O ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  m ) ) ) ) ) )
531, 33, 42, 52mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121    ^m cmap 6772   X_cixp 6817   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566   Idccid 13567    Func cfunc 13728
This theorem is referenced by:  funcoppc  13749  funcres  13770  catcisolem  13938  1stfcl  13971  2ndfcl  13972  prfcl  13977  evlfcl  13996  curf1cl  14002  curfcl  14006  hofcl  14033
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-ixp 6818  df-func 13732
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