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Theorem isga 14761
Description: The predicate "is a (left) group action." The group  G is said to act on the base set  Y of the action, which is not assumed to have any special properties. There is a related notion of right group action, but as the Wikipedia article explains, it is not mathematically interesting. The way actions are usually thought of is that each element  g of  G is a permutation of the elements of  Y (see gapm 14776). Since group theory was classically about symmetry groups, it is therefore likely that the notion of group action was useful even in early group theory. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isga.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
isga.2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
isga.3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
isga  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    y, X, z    x, Y, y, z   
x,  .(+) , y, z
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z)    X( x)    .0. ( x, y, z)

Proof of Theorem isga
Dummy variables  g 
b  m  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ga 14760 . . 3  |-  GrpAct  =  ( g  e.  Grp , 
s  e.  _V  |->  [_ ( Base `  g )  /  b ]_ {
m  e.  ( s  ^m  ( b  X.  s ) )  | 
A. x  e.  s  ( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
21elmpt2cl 6077 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V ) )
3 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  g )  e.  _V
43a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  e.  _V )
5 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  s  =  Y )
6 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( Base `  g
)  ->  b  =  ( Base `  g )
)
7 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  g  =  G )
87fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  =  ( Base `  G ) )
9 isga.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  G
)
108, 9syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  ( Base `  g
)  =  X )
116, 10sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  b  =  X )
1211, 5xpeq12d 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
b  X.  s )  =  ( X  X.  Y ) )
135, 12oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
s  ^m  ( b  X.  s ) )  =  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) ) )
14 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  g  =  G )
1514fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( 0g `  g )  =  ( 0g `  G
) )
16 isga.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
1715, 16syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( 0g `  g )  =  .0.  )
1817oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( 0g `  g
) m x )  =  (  .0.  m x ) )
1918eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( 0g `  g ) m x )  =  x  <->  (  .0.  m x )  =  x ) )
2014fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( +g  `  g )  =  ( +g  `  G
) )
21 isga.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .+  =  ( +g  `  G )
2220, 21syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( +g  `  g )  = 
.+  )
2322oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
y ( +g  `  g
) z )  =  ( y  .+  z
) )
2423oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( ( y  .+  z ) m x ) )
2524eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2611, 25raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2711, 26raleqbidv 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) )
2819, 27anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) ) )
295, 28raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  ( A. x  e.  s 
( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) ) )
3013, 29rabeqbidv 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  /\  b  =  ( Base `  g
) )  ->  { m  e.  ( s  ^m  (
b  X.  s ) )  |  A. x  e.  s  ( (
( 0g `  g
) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
( y ( +g  `  g ) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  =  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
314, 30csbied 3136 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  s  =  Y )  ->  [_ ( Base `  g
)  /  b ]_ { m  e.  (
s  ^m  ( b  X.  s ) )  | 
A. x  e.  s  ( ( ( 0g
`  g ) m x )  =  x  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( ( y ( +g  `  g
) z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  =  {
m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
32 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  e. 
_V
3332rabex 4181 . . . . . 6  |-  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  e.  _V
3431, 1, 33ovmpt2a 5994 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( G  GrpAct  Y )  =  { m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } )
3534eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  .(+)  e.  {
m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  | 
A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z ) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) } ) )
36 oveq 5880 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  .(+)  ->  (  .0.  m x )  =  (  .0.  .(+)  x ) )
3736eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( (  .0.  m x )  =  x  <->  (  .0.  .(+) 
x )  =  x ) )
38 oveq 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( y  .+  z ) m x )  =  ( ( y  .+  z )  .(+)  x ) )
39 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y m ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z m x ) ) )
40 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( z m x )  =  ( z  .(+)  x ) )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y 
.(+)  ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4239, 41eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( y m ( z m x ) )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) )
4338, 42eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( ( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )
44432ralbidv 2598 . . . . . . 7  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )
4537, 44anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4645ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( m  =  .(+)  ->  ( A. x  e.  Y  (
(  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
) m x )  =  ( y m ( z m x ) ) )  <->  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4746elrab 2936 . . . 4  |-  (  .(+)  e. 
{ m  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  |  A. x  e.  Y  ( (  .0.  m x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
y  .+  z )
m x )  =  ( y m ( z m x ) ) ) }  <->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) )
4835, 47syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) ) )
49 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  Y  e.  _V )
50 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
519, 50eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
52 xpexg 4816 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
5351, 49, 52sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
54 elmapg 6801 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  ( X  X.  Y
)  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y ) )
5549, 53, 54syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  <->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y ) )
5655anbi1d 685 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  ( (  .(+)  e.  ( Y  ^m  ( X  X.  Y ) )  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) )  <-> 
(  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y 
.+  z )  .(+)  x )  =  ( y 
.(+)  ( z  .(+)  x ) ) ) ) ) )
5748, 56bitrd 244 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  _V )  ->  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <->  (  .(+)  : ( X  X.  Y
) --> Y  /\  A. x  e.  Y  (
(  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
582, 57biadan2 623 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  Y  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y  /\  A. x  e.  Y  ( (  .0.  .(+)  x )  =  x  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( y  .+  z
)  .(+)  x )  =  ( y  .(+)  ( z 
.(+)  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   [_csb 3094    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378    GrpAct cga 14759
This theorem is referenced by:  gagrp  14762  gaset  14763  gagrpid  14764  gaf  14765  gaass  14767  ga0  14768  gaid  14769  subgga  14770  gass  14771  gasubg  14772  lactghmga  14800  sylow1lem2  14926  sylow2blem2  14948  sylow3lem1  14954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-ga 14760
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