MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isghm Unicode version

Theorem isghm 14926
Description: Property of being a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isghm.w  |-  X  =  ( Base `  S
)
isghm.x  |-  Y  =  ( Base `  T
)
isghm.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
isghm.b  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
isghm  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, S    u, T, v    u, X, v    u,  .+ , v    u, Y, v    u,  .+^ , v    u, F, v

Proof of Theorem isghm
Dummy variables  t 
s  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ghm 14924 . . 3  |-  GrpHom  =  ( s  e.  Grp , 
t  e.  Grp  |->  { f  |  [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) } )
21elmpt2cl 6220 . 2  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e. 
Grp ) )
3 fvex 5675 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  s )  e.  _V
4 feq2 5510 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( f : w --> ( Base `  t )  <->  f :
( Base `  s ) --> ( Base `  t )
) )
5 raleq 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) ) ) )
65raleqbi1dv 2848 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. u  e.  ( Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) ) )
74, 6anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( Base `  s
)  ->  ( (
f : w --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) )  <->  ( f : ( Base `  s
) --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  ( Base `  s
) A. v  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
83, 7sbcie 3131 . . . . . . 7  |-  ( [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) ) )  <->  ( f : ( Base `  s
) --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  ( Base `  s
) A. v  e.  ( Base `  s
) ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
9 fveq2 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
10 isghm.w . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  S
)
119, 10syl6eqr 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  X )
1211feq2d 5514 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
f : ( Base `  s ) --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> ( Base `  t
) ) )
13 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  S
) )
14 isghm.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .+  =  ( +g  `  S )
1513, 14syl6eqr 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  ( +g  `  s )  = 
.+  )
1615oveqd 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
u ( +g  `  s
) v )  =  ( u  .+  v
) )
1716fveq2d 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
f `  ( u
( +g  `  s ) v ) )  =  ( f `  (
u  .+  v )
) )
1817eqeq1d 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( f `  (
u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) )  <->  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
1911, 18raleqbidv 2852 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) )  <->  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
2011, 19raleqbidv 2852 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. u  e.  ( Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `
 ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t ) ( f `
 v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) )
2112, 20anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( f : (
Base `  s ) --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  (
Base `  s ) A. v  e.  ( Base `  s ) ( f `  ( u ( +g  `  s
) v ) )  =  ( ( f `
 u ) ( +g  `  t ) ( f `  v
) ) )  <->  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
228, 21syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( [. ( Base `  s
)  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) )  <-> 
( f : X --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) ) )
2322abbidv 2494 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  { f  |  [. ( Base `  s )  /  w ]. ( f : w --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  w  A. v  e.  w  ( f `  ( u ( +g  `  s ) v ) )  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) } )
24 fveq2 5661 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  ( Base `  T
) )
25 isghm.x . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( Base `  T
)
2624, 25syl6eqr 2430 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( Base `  t )  =  Y )
27 feq3 5511 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  t )  =  Y  ->  ( f : X --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> Y ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  (
f : X --> ( Base `  t )  <->  f : X
--> Y ) )
29 fveq2 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  =  ( +g  `  T
) )
30 isghm.b . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
3129, 30syl6eqr 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  ( +g  `  t )  = 
.+^  )
3231oveqd 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) )
3332eqeq2d 2391 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  (
( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  <->  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) ) ) )
34332ralbidv 2684 . . . . . . 7  |-  ( t  =  T  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) ) ) )
3528, 34anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  (
( f : X --> ( Base `  t )  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) )  <-> 
( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) ) )
3635abbidv 2494 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  { f  |  ( f : X --> ( Base `  t
)  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( f `  u
) ( +g  `  t
) ( f `  v ) ) ) }  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) } )
37 fvex 5675 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2450 . . . . . . 7  |-  X  e. 
_V
39 fvex 5675 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  e.  _V
4025, 39eqeltri 2450 . . . . . . 7  |-  Y  e. 
_V
41 mapex 6953 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  { f  |  f : X --> Y }  e.  _V )
4238, 40, 41mp2an 654 . . . . . 6  |-  { f  |  f : X --> Y }  e.  _V
43 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) )  ->  f : X
--> Y )
4443ss2abi 3351 . . . . . 6  |-  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) }  C_  { f  |  f : X --> Y }
4542, 44ssexi 4282 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) }  e.  _V
4623, 36, 1, 45ovmpt2 6141 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( S  GrpHom  T )  =  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) } )
4746eleq2d 2447 . . 3  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u )  .+^  ( f `
 v ) ) ) } ) )
48 fex 5901 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4938, 48mpan2 653 . . . . 5  |-  ( F : X --> Y  ->  F  e.  _V )
5049adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) )  ->  F  e.  _V )
51 feq1 5509 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X --> Y  <->  F : X
--> Y ) )
52 fveq1 5660 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( u  .+  v ) )  =  ( F `  (
u  .+  v )
) )
53 fveq1 5660 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  u )  =  ( F `  u ) )
54 fveq1 5660 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  v )  =  ( F `  v ) )
5553, 54oveq12d 6031 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  u
)  .+^  ( f `  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) )
5652, 55eqeq12d 2394 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) )  <->  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
57562ralbidv 2684 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  (
u  .+  v )
)  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
5851, 57anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u ) 
.+^  ( F `  v ) ) ) ) )
5950, 58elab3 3025 . . 3  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( f `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( f `  u ) 
.+^  ( f `  v ) ) ) }  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v
) )  =  ( ( F `  u
)  .+^  ( F `  v ) ) ) )
6047, 59syl6bb 253 . 2  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
612, 60biadan2 624 1  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  X  A. v  e.  X  ( F `  ( u  .+  v ) )  =  ( ( F `  u )  .+^  ( F `
 v ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366   A.wral 2642   _Vcvv 2892   [.wsbc 3097   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   Grpcgrp 14605    GrpHom cghm 14923
This theorem is referenced by:  isghm3  14927  ghmgrp1  14928  ghmgrp2  14929  ghmf  14930  ghmlin  14931  isghmd  14935  idghm  14941  ghmf1o  14955  islmhm2  16034  expghm  16693  mulgghm2  16702  pi1xfr  18944  pi1coghm  18950  rhmopp  24066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-ghm 14924
  Copyright terms: Public domain W3C validator