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Theorem isglbd 14237
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
isglbd.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
isglbd.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
isglbd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
isglbd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
isglbd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
isglbd.5  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Distinct variable groups:    x, B    x, y, H    x, K, y    ph, x, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( y)    G( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
2 isglbd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
3 isglbd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 isglbd.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 isglbd.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
63, 4, 5glbval 14134 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
71, 2, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
8 isglbd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
98ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  H  .<_  y )
10 isglbd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
11103exp 1150 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
1211ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )
13 isglbd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
143, 5clatglbcl 14234 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
151, 2, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  B )
167, 15eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  e.  B )
17 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
183, 17eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1918riotaclb 6361 . . . . 5  |-  ( E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  e.  B )
2016, 19sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
21 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h  .<_  y  <->  H  .<_  y ) )
2221ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  <->  A. y  e.  S  H  .<_  y ) )
23 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
x  .<_  h  <->  x  .<_  H ) )
2423imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2524ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2622, 25anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) ) )
2726riota2 6343 . . . 4  |-  ( ( H  e.  B  /\  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
2813, 20, 27syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
299, 12, 28mpbi2and 887 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H )
307, 29eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   glbcglb 14093   CLatccla 14229
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  32106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-undef 6314  df-riota 6320  df-glb 14125  df-clat 14230
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