MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isglbd Structured version   Unicode version

Theorem isglbd 14546
Description: Properties that determine the greatest lower bound of a complete lattice. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isglbd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
isglbd.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
isglbd.1  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
isglbd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
isglbd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
isglbd.4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
isglbd.5  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
Assertion
Ref Expression
isglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Distinct variable groups:    x, B    x, y, H    x, K, y    ph, x, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( y)    G( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem isglbd
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isglbd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  CLat )
2 isglbd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
3 isglbd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 isglbd.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 isglbd.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
63, 4, 5glbval 14443 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  =  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
71, 2, 6syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) ) )
8 isglbd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  H  .<_  y )
98ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  H  .<_  y )
10 isglbd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  A. y  e.  S  x  .<_  y )  ->  x  .<_  H )
11103exp 1153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
1211ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )
13 isglbd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  B )
143, 5clatglbcl 14543 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( G `  S )  e.  B )
151, 2, 14syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  e.  B )
167, 15eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  e.  B )
17 fvex 5744 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
183, 17eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1918riotaclb 6592 . . . . 5  |-  ( E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  e.  B )
2016, 19sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )
21 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
h  .<_  y  <->  H  .<_  y ) )
2221ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  <->  A. y  e.  S  H  .<_  y ) )
23 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  H  ->  (
x  .<_  h  <->  x  .<_  H ) )
2423imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2524ralbidv 2727 . . . . . 6  |-  ( h  =  H  ->  ( A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h )  <->  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) )
2622, 25anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( h  =  H  ->  (
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) )  <->  ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) ) ) )
2726riota2 6574 . . . 4  |-  ( ( H  e.  B  /\  E! h  e.  B  ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
2813, 20, 27syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  H  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  H ) )  <->  ( iota_ h  e.  B ( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H ) )
299, 12, 28mpbi2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ h  e.  B
( A. y  e.  S  h  .<_  y  /\  A. x  e.  B  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  ->  x  .<_  h ) ) )  =  H )
307, 29eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E!wreu 2709   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   glbcglb 14402   CLatccla 14538
This theorem is referenced by:  dihglblem2N  32094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-undef 6545  df-riota 6551  df-glb 14434  df-clat 14539
  Copyright terms: Public domain W3C validator