Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpda Structured version   Unicode version

Theorem isgrpda 21877
 Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpda.1
isgrpda.2
isgrpda.3
isgrpda.4
isgrpda.5
isgrpda.6
Assertion
Ref Expression
isgrpda
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isgrpda
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpda.2 . . 3
2 isgrpda.3 . . . 4
32ralrimivvva 2791 . . 3
4 isgrpda.4 . . . 4
5 isgrpda.5 . . . . . 6
6 isgrpda.6 . . . . . . 7
7 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
87eqeq1d 2443 . . . . . . . 8
98cbvrexv 2925 . . . . . . 7
106, 9sylibr 204 . . . . . 6
115, 10jca 519 . . . . 5
1211ralrimiva 2781 . . . 4
13 oveq1 6080 . . . . . . . 8
1413eqeq1d 2443 . . . . . . 7
15 eqeq2 2444 . . . . . . . 8
1615rexbidv 2718 . . . . . . 7
1714, 16anbi12d 692 . . . . . 6
1817ralbidv 2717 . . . . 5
1918rspcev 3044 . . . 4
204, 12, 19syl2anc 643 . . 3
214adantr 452 . . . . . . . . . 10
22 simpr 448 . . . . . . . . . 10
235eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10
24 rspceov 6108 . . . . . . . . . 10
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
2625ralrimiva 2781 . . . . . . . 8
27 foov 6212 . . . . . . . 8
281, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . . 7
29 forn 5648 . . . . . . 7
3028, 29syl 16 . . . . . 6
3130, 30xpeq12d 4895 . . . . 5
3231, 30feq23d 5580 . . . 4
3330raleqdv 2902 . . . . . 6
3430, 33raleqbidv 2908 . . . . 5
3530, 34raleqbidv 2908 . . . 4
3630rexeqdv 2903 . . . . . . 7
3736anbi2d 685 . . . . . 6
3830, 37raleqbidv 2908 . . . . 5
3930, 38rexeqbidv 2909 . . . 4
4032, 35, 393anbi123d 1254 . . 3
411, 3, 20, 40mpbir3and 1137 . 2
42 isgrpda.1 . . . . 5
43 xpexg 4981 . . . . 5
4442, 42, 43syl2anc 643 . . . 4
45 fex 5961 . . . 4
461, 44, 45syl2anc 643 . . 3
47 eqid 2435 . . . 4
4847isgrpo 21776 . . 3
4946, 48syl 16 . 2
5041, 49mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cxp 4868   crn 4871  wf 5442  wfo 5444  (class class class)co 6073  cgr 21766 This theorem is referenced by:  isgrpod  21878  isabloda  21879  isdrngo2  26565 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-grpo 21771
 Copyright terms: Public domain W3C validator