MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpda Unicode version

Theorem isgrpda 21734
Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpda.1  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isgrpda.2  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
isgrpda.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
isgrpda.4  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
isgrpda.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
isgrpda.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
Assertion
Ref Expression
isgrpda  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    n, G, x, y, z    n, X, x, y, z    U, n, x, y, z
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem isgrpda
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpda.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
2 isgrpda.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
32ralrimivvva 2743 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4 isgrpda.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
5 isgrpda.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
6 isgrpda.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
7 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y G x )  =  ( n G x ) )
87eqeq1d 2396 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( y G x )  =  U  <->  ( n G x )  =  U ) )
98cbvrexv 2877 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  <->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
106, 9sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
115, 10jca 519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
1211ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
13 oveq1 6028 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
u G x )  =  ( U G x ) )
1413eqeq1d 2396 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( U G x )  =  x ) )
15 eqeq2 2397 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( y G x )  =  u  <->  ( y G x )  =  U ) )
1615rexbidv 2671 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
1714, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) ) )
1817ralbidv 2670 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) ) )
1918rspcev 2996 . . . 4  |-  ( ( U  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
204, 12, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
214adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  X )
22 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
235eqcomd 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  =  ( U G x ) )
24 rspceov 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  X  /\  x  e.  X  /\  x  =  ( U G x ) )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
2625ralrimiva 2733 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
27 foov 6160 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) ) )
281, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) -onto-> X )
29 forn 5597 . . . . . . 7  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
3130, 30xpeq12d 4844 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  =  ( X  X.  X ) )
3231, 30feq23d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
3330raleqdv 2854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3430, 33raleqbidv 2860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 2860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3630rexeqdv 2855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
3736anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
3830, 37raleqbidv 2860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
3930, 38rexeqbidv 2861 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
4032, 35, 393anbi123d 1254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G :
( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) )  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
411, 3, 20, 40mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) ) )
42 isgrpda.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
43 xpexg 4930 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
4442, 42, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
45 fex 5909 . . . 4  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
461, 44, 45syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
47 eqid 2388 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
4847isgrpo 21633 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
4946, 48syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
5041, 49mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    X. cxp 4817   ran crn 4820   -->wf 5391   -onto->wfo 5393  (class class class)co 6021   GrpOpcgr 21623
This theorem is referenced by:  isgrpod  21735  isabloda  21736  isdrngo2  26266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-grpo 21628
  Copyright terms: Public domain W3C validator