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Theorem isgrpda 21877
Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpda.1  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isgrpda.2  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
isgrpda.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
isgrpda.4  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
isgrpda.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
isgrpda.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
Assertion
Ref Expression
isgrpda  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    n, G, x, y, z    n, X, x, y, z    U, n, x, y, z
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem isgrpda
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpda.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
2 isgrpda.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
32ralrimivvva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4 isgrpda.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
5 isgrpda.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
6 isgrpda.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
7 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  n  ->  (
y G x )  =  ( n G x ) )
87eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  n  ->  (
( y G x )  =  U  <->  ( n G x )  =  U ) )
98cbvrexv 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  U  <->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  U )
106, 9sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U )
115, 10jca 519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
1211ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
13 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
u G x )  =  ( U G x ) )
1413eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( U G x )  =  x ) )
15 eqeq2 2444 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( y G x )  =  u  <->  ( y G x )  =  U ) )
1615rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )
1714, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) ) )
1817ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) ) )
1918rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( U  e.  X  /\  A. x  e.  X  ( ( U G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  U ) )  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
204, 12, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
214adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  X )
22 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
235eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  =  ( U G x ) )
24 rspceov 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  X  /\  x  e.  X  /\  x  =  ( U G x ) )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
2625ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) )
27 foov 6212 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  X  E. z  e.  X  x  =  ( y G z ) ) )
281, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( X  X.  X ) -onto-> X )
29 forn 5648 . . . . . . 7  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
3028, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
3130, 30xpeq12d 4895 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  =  ( X  X.  X ) )
3231, 30feq23d 5580 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
3330raleqdv 2902 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3430, 33raleqbidv 2908 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3530, 34raleqbidv 2908 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
3630rexeqdv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
3736anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
3830, 37raleqbidv 2908 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
3930, 38rexeqbidv 2909 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u  e. 
ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )
4032, 35, 393anbi123d 1254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G :
( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) )  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
411, 3, 20, 40mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ph  ->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e. 
ran  G ( y G x )  =  u ) ) )
42 isgrpda.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
43 xpexg 4981 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
4442, 42, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
45 fex 5961 . . . 4  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( X  X.  X )  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
461, 44, 45syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
47 eqid 2435 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
4847isgrpo 21776 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
4946, 48syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran 
G  /\  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  ran  G A. x  e.  ran  G ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  ran  G ( y G x )  =  u ) ) ) )
5041, 49mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  G  e.  GrpOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    X. cxp 4868   ran crn 4871   -->wf 5442   -onto->wfo 5444  (class class class)co 6073   GrpOpcgr 21766
This theorem is referenced by:  isgrpod  21878  isabloda  21879  isdrngo2  26565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-grpo 21771
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