Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpinv Unicode version

Theorem isgrpinv 14532
 Description: Properties showing that a function is the inverse function of a group. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinv.b
grpinv.p
grpinv.u
grpinv.n
Assertion
Ref Expression
isgrpinv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem isgrpinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpinv.b . . . . . . . . . 10
2 grpinv.p . . . . . . . . . 10
3 grpinv.u . . . . . . . . . 10
4 grpinv.n . . . . . . . . . 10
51, 2, 3, 4grpinvval 14521 . . . . . . . . 9
65ad2antlr 707 . . . . . . . 8
7 simpr 447 . . . . . . . . 9
8 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11
9 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
10 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
12 simplll 734 . . . . . . . . . . 11
131, 2, 3grpinveu 14516 . . . . . . . . . . 11
1412, 9, 13syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
15 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12
1615eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11
1716riota2 6327 . . . . . . . . . 10
1811, 14, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9
197, 18mpbid 201 . . . . . . . 8
206, 19eqtrd 2315 . . . . . . 7
2120ex 423 . . . . . 6
2221ralimdva 2621 . . . . 5
2322impr 602 . . . 4
241, 4grpinvfn 14522 . . . . 5
25 ffn 5389 . . . . . 6
2625ad2antrl 708 . . . . 5
27 eqfnfv 5622 . . . . 5
2824, 26, 27sylancr 644 . . . 4
2923, 28mpbird 223 . . 3
3029ex 423 . 2
311, 4grpinvf 14526 . . . 4
321, 2, 3, 4grplinv 14528 . . . . 5
3332ralrimiva 2626 . . . 4
3431, 33jca 518 . . 3
35 feq1 5375 . . . 4
36 fveq1 5524 . . . . . . 7
3736oveq1d 5873 . . . . . 6
3837eqeq1d 2291 . . . . 5
3938ralbidv 2563 . . . 4
4035, 39anbi12d 691 . . 3
4134, 40syl5ibcom 211 . 2
4230, 41impbid 183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wreu 2545   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  crio 6297  cbs 13148   cplusg 13208  c0g 13400  cgrp 14362  cminusg 14363 This theorem is referenced by:  oppginv  14832 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490
 Copyright terms: Public domain W3C validator