MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Unicode version

Theorem isgrpix 14752
Description: Properties that determine a group. Read  N as  N (
x ). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a  |-  B  e. 
_V
isgrpix.b  |-  .+  e.  _V
isgrpix.g  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
isgrpix.2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
isgrpix.3  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
isgrpix.z  |-  .0.  e.  B
isgrpix.5  |-  ( x  e.  B  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
isgrpix.6  |-  ( x  e.  B  ->  N  e.  B )
isgrpix.7  |-  ( x  e.  B  ->  ( N  .+  x )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
isgrpix  |-  G  e. 
Grp
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, G, y, z    y, N    x,  .+ , y, z    x,  .0. , y, z
Allowed substitution hints:    N( x, z)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3  |-  B  e. 
_V
2 isgrpix.b . . 3  |-  .+  e.  _V
3 isgrpix.g . . 3  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
41, 2, 3grpbasex 13492 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
51, 2, 3grpplusgx 13493 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 isgrpix.2 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
7 isgrpix.3 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
8 isgrpix.z . 2  |-  .0.  e.  B
9 isgrpix.5 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
10 isgrpix.6 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  N  e.  B )
11 isgrpix.7 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  ( N  .+  x )  =  .0.  )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 14751 1  |-  G  e. 
Grp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   {cpr 3751   <.cop 3753  (class class class)co 6013   1c1 8917   2c2 9974   Grpcgrp 14605
This theorem is referenced by:  cnaddablx  15401  zaddablx  15403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732
  Copyright terms: Public domain W3C validator