MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Structured version   Unicode version

Theorem isgrpix 14824
Description: Properties that determine a group. Read  N as  N (
x ). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a  |-  B  e. 
_V
isgrpix.b  |-  .+  e.  _V
isgrpix.g  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
isgrpix.2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
isgrpix.3  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
isgrpix.z  |-  .0.  e.  B
isgrpix.5  |-  ( x  e.  B  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
isgrpix.6  |-  ( x  e.  B  ->  N  e.  B )
isgrpix.7  |-  ( x  e.  B  ->  ( N  .+  x )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
isgrpix  |-  G  e. 
Grp
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, G, y, z    y, N    x,  .+ , y, z    x,  .0. , y, z
Allowed substitution hints:    N( x, z)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3  |-  B  e. 
_V
2 isgrpix.b . . 3  |-  .+  e.  _V
3 isgrpix.g . . 3  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
41, 2, 3grpbasex 13564 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
51, 2, 3grpplusgx 13565 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 isgrpix.2 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
7 isgrpix.3 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
8 isgrpix.z . 2  |-  .0.  e.  B
9 isgrpix.5 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
10 isgrpix.6 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  N  e.  B )
11 isgrpix.7 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  ( N  .+  x )  =  .0.  )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 14823 1  |-  G  e. 
Grp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {cpr 3807   <.cop 3809  (class class class)co 6073   1c1 8983   2c2 10041   Grpcgrp 14677
This theorem is referenced by:  cnaddablx  15473  zaddablx  15475
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804
  Copyright terms: Public domain W3C validator