MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpix Unicode version

Theorem isgrpix 14509
Description: Properties that determine a group. Read  N as  N (
x ). Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 4-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpix.a  |-  B  e. 
_V
isgrpix.b  |-  .+  e.  _V
isgrpix.g  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
isgrpix.2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
isgrpix.3  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
isgrpix.z  |-  .0.  e.  B
isgrpix.5  |-  ( x  e.  B  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
isgrpix.6  |-  ( x  e.  B  ->  N  e.  B )
isgrpix.7  |-  ( x  e.  B  ->  ( N  .+  x )  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
isgrpix  |-  G  e. 
Grp
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, G, y, z    y, N    x,  .+ , y, z    x,  .0. , y, z
Allowed substitution hints:    N( x, z)

Proof of Theorem isgrpix
StepHypRef Expression
1 isgrpix.a . . 3  |-  B  e. 
_V
2 isgrpix.b . . 3  |-  .+  e.  _V
3 isgrpix.g . . 3  |-  G  =  { <. 1 ,  B >. ,  <. 2 ,  .+  >. }
41, 2, 3grpbasex 13251 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
51, 2, 3grpplusgx 13252 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
6 isgrpix.2 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .+  y
)  e.  B )
7 isgrpix.3 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
8 isgrpix.z . 2  |-  .0.  e.  B
9 isgrpix.5 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
10 isgrpix.6 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  N  e.  B )
11 isgrpix.7 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  ( N  .+  x )  =  .0.  )
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isgrpi 14508 1  |-  G  e. 
Grp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {cpr 3641   <.cop 3643  (class class class)co 5858   1c1 8738   2c2 9795   Grpcgrp 14362
This theorem is referenced by:  cnaddablx  15158  zaddablx  15160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489
  Copyright terms: Public domain W3C validator