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Theorem isgrpo 20879
Description: The predicate "is a group operation." Note that 
X is the base set of the group. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isgrp.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isgrpo  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, z, G    u, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, u)

Proof of Theorem isgrpo
Dummy variables  g 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 feq1 5391 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g : ( t  X.  t ) --> t  <-> 
G : ( t  X.  t ) --> t ) )
2 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x g y ) G z ) )
3 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
43oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
52, 4eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
6 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y g z ) ) )
7 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
y g z )  =  ( y G z ) )
87oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x G ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
96, 8eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
105, 9eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
1110ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
12112ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
13 oveq 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
u g x )  =  ( u G x ) )
1413eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( u g x )  =  x  <->  ( u G x )  =  x ) )
15 oveq 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y g x )  =  ( y G x ) )
1615eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( y g x )  =  u  <->  ( y G x )  =  u ) )
1716rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( E. y  e.  t 
( y g x )  =  u  <->  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u )  <->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )
1918rexralbidv 2600 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u )  <->  E. u  e.  t 
A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )
201, 12, 193anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( g : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y g x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) ) ) )
2120exbidv 1616 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( E. t ( g : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y g x )  =  u ) )  <->  E. t ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
22 df-grpo 20874 . . . 4  |-  GrpOp  =  {
g  |  E. t
( g : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u g x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y g x )  =  u ) ) }
2321, 22elab2g 2929 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  E. t
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) ) ) )
24 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  -> 
( u G x )  =  x )
2524ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  A. x  e.  t 
( u G x )  =  x )
26 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
u G x )  =  ( u G z ) )
27 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
2826, 27eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( u G x )  =  x  <->  ( u G z )  =  z ) )
29 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u G z )  =  z  <->  z  =  ( u G z ) )
3028, 29syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( u G x )  =  x  <->  z  =  ( u G z ) ) )
3130rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( u G x )  =  x  -> 
z  =  ( u G z ) ) )
32 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
u G y )  =  ( u G z ) )
3332eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  (
z  =  ( u G y )  <->  z  =  ( u G z ) ) )
3433rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  t  /\  z  =  ( u G z ) )  ->  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) )
3534ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  t  ->  (
z  =  ( u G z )  ->  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) ) )
3631, 35syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( u G x )  =  x  ->  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) ) )
3725, 36syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  t  ->  ( A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
3837reximdv 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  t  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
3938impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. u  e.  t 
A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  /\  z  e.  t )  ->  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) )
4039ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  ->  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t 
z  =  ( u G y ) )
4140anim2i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
42 foov 6010 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  <->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. z  e.  t  E. u  e.  t  E. y  e.  t  z  =  ( u G y ) ) )
4341, 42sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  ->  G : ( t  X.  t ) -onto-> t )
44 forn 5470 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  ->  ran  G  =  t )
4544eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( G : ( t  X.  t ) -onto-> t  -> 
t  =  ran  G
)
4643, 45syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
t  =  ran  G
)
47463adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  -> 
t  =  ran  G
)
4847pm4.71ri 614 . . . 4  |-  ( ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <->  ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
4948exbii 1572 . . 3  |-  ( E. t ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <->  E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) )
5023, 49syl6bb 252 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  E. t
( t  =  ran  G  /\  ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) ) ) )
51 rnexg 4956 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ran  G  e.  _V )
52 isgrp.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
5352eqeq2i 2306 . . . . 5  |-  ( t  =  X  <->  t  =  ran  G )
54 xpeq1 4719 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  t ) )
55 xpeq2 4720 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( X  X.  t )  =  ( X  X.  X
) )
5654, 55eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
5756feq2d 5396 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> t ) )
58 feq3 5393 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
5957, 58bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( G : ( t  X.  t ) --> t  <->  G :
( X  X.  X
) --> X ) )
60 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
6160raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
6261raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
63 rexeq 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  ( E. y  e.  t 
( y G x )  =  u  <->  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )
6463anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6564raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6665rexeqbi1dv 2758 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  ( E. u  e.  t  A. x  e.  t 
( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) )
6759, 62, 663anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( t  =  X  ->  (
( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  (
y G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
6853, 67sylbir 204 . . . 4  |-  ( t  =  ran  G  -> 
( ( G :
( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
6968ceqsexgv 2913 . . 3  |-  ( ran 
G  e.  _V  ->  ( E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) ) )
7051, 69syl 15 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( E. t ( t  =  ran  G  /\  ( G : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  A. z  e.  t  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  t  A. x  e.  t  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  t  ( y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
7150, 70bitrd 244 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    X. cxp 4703   ran crn 4706   -->wf 5267   -onto->wfo 5269  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869
This theorem is referenced by:  isgrpo2  20880  isgrpoi  20881  grpofo  20882  grpolidinv  20884  grpoass  20886  isgrp2d  20918  isgrpda  20980  grpomndo  21029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-ov 5877  df-grpo 20874
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