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Theorem isgrpo2 20864
Description: The predicate "is a group operation." (Contributed by NM, 23-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isgrp.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isgrpo2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, n, x, y, z, G    n, X, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, u, n)

Proof of Theorem isgrpo2
StepHypRef Expression
1 isgrp.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
21isgrpo 20863 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
3 3anass 938 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) )  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) )
42, 3syl6bb 252 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u ) ) ) ) )
5 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  G  Fn  ( X  X.  X ) )
65ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  G  Fn  ( X  X.  X
) )
7 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
8 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 fnovrn 5995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  Fn  ( X  X.  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G y )  e.  ran  G
)
106, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  ran  G )
1110, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x G y )  e.  X )
1211biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  ( (
x G y )  e.  X  /\  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
x G y )  e.  X  /\  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1413ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y )  e.  X  /\  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1514ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
16 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  n  ->  (
y G x )  =  ( n G x ) )
1716eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  n  ->  (
( y G x )  =  u  <->  ( n G x )  =  u ) )
1817cbvrexv 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  X  ( y G x )  =  u  <->  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u )
1918anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) )
2019ralbii 2567 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) )
2120rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) )
2221a1i 10 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  ( y G x )  =  u )  <->  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  (
n G x )  =  u ) ) )
2315, 22anbi12d 691 . . . 4  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  -> 
( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
2423pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
25 3anass 938 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  (
( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) )  <-> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
2624, 25bitr4i 243 . 2  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( (
u G x )  =  x  /\  E. y  e.  X  (
y G x )  =  u ) ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) )
274, 26syl6bb 252 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  GrpOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y )  e.  X  /\  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )  /\  E. u  e.  X  A. x  e.  X  ( ( u G x )  =  x  /\  E. n  e.  X  ( n G x )  =  u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  tcnvec  25690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-grpo 20858
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