Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isgrpoi Structured version   Unicode version

Theorem isgrpoi 21791
 Description: Properties that determine a group operation. Read as . (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isgrpi.1
isgrpi.2
isgrpi.3
isgrpi.4
isgrpi.5
isgrpi.6
isgrpi.7
Assertion
Ref Expression
isgrpoi
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isgrpoi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgrpi.2 . 2
2 isgrpi.3 . . 3
32rgen3 2805 . 2
4 isgrpi.4 . . 3
5 isgrpi.5 . . . . 5
6 isgrpi.6 . . . . . 6
7 isgrpi.7 . . . . . 6
8 oveq1 6091 . . . . . . . 8
98eqeq1d 2446 . . . . . . 7
109rspcev 3054 . . . . . 6
116, 7, 10syl2anc 644 . . . . 5
125, 11jca 520 . . . 4
1312rgen 2773 . . 3
14 oveq1 6091 . . . . . . 7
1514eqeq1d 2446 . . . . . 6
16 eqeq2 2447 . . . . . . 7
1716rexbidv 2728 . . . . . 6
1815, 17anbi12d 693 . . . . 5
1918ralbidv 2727 . . . 4
2019rspcev 3054 . . 3
214, 13, 20mp2an 655 . 2
22 isgrpi.1 . . . . 5
2322, 22xpex 4993 . . . 4
24 fex 5972 . . . 4
251, 23, 24mp2an 655 . . 3
265eqcomd 2443 . . . . . . . . 9
27 rspceov 6119 . . . . . . . . . 10
284, 27mp3an1 1267 . . . . . . . . 9
2926, 28mpdan 651 . . . . . . . 8
3029rgen 2773 . . . . . . 7
31 foov 6223 . . . . . . 7
321, 30, 31mpbir2an 888 . . . . . 6
33 forn 5659 . . . . . 6
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5
3534eqcomi 2442 . . . 4
3635isgrpo 21789 . . 3
3725, 36ax-mp 5 . 2
381, 3, 21, 37mpbir3an 1137 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cxp 4879   crn 4882  wf 5453  wfo 5455  (class class class)co 6084  cgr 21779 This theorem is referenced by:  grposn  21808  issubgoi  21903  cnaddablo  21943  ablomul  21948  hilablo  22667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-grpo 21784
 Copyright terms: Public domain W3C validator