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Theorem ishaus 17066
Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ishaus  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    m, n, x, y, J   
x, X, y
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem ishaus
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3852 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2 ist0.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
31, 2syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  X )
4 rexeq 2750 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( E. m  e.  j 
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
54rexeqbi1dv 2758 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( E. n  e.  j  E. m  e.  j 
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
65imbi2d 307 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
73, 6raleqbidv 2761 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  ( A. y  e.  U. j
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
83, 7raleqbidv 2761 . 2  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  U. j A. y  e.  U. j
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
9 df-haus 17059 . 2  |-  Haus  =  { j  e.  Top  | 
A. x  e.  U. j A. y  e.  U. j ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) }
108, 9elrab2 2938 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   (/)c0 3468   U.cuni 3843   Topctop 16647   Hauscha 17052
This theorem is referenced by:  hausnei  17072  haustop  17075  ishaus2  17095  cnhaus  17098  dishaus  17126  pthaus  17348  hausdiag  17355  txhaus  17357  xkohaus  17363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-uni 3844  df-haus 17059
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