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Theorem ishaus 17309
Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
ishaus  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    m, n, x, y, J   
x, X, y
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem ishaus
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3967 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2 ist0.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
31, 2syl6eqr 2438 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  X )
4 rexeq 2849 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( E. m  e.  j 
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
54rexeqbi1dv 2857 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( E. n  e.  j  E. m  e.  j 
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
65imbi2d 308 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
73, 6raleqbidv 2860 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  ( A. y  e.  U. j
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
83, 7raleqbidv 2860 . 2  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  U. j A. y  e.  U. j
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
9 df-haus 17302 . 2  |-  Haus  =  { j  e.  Top  | 
A. x  e.  U. j A. y  e.  U. j ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  j  E. m  e.  j  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) }
108, 9elrab2 3038 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    i^i cin 3263   (/)c0 3572   U.cuni 3958   Topctop 16882   Hauscha 17295
This theorem is referenced by:  hausnei  17315  haustop  17318  ishaus2  17338  cnhaus  17341  dishaus  17369  pthaus  17592  hausdiag  17599  txhaus  17601  xkohaus  17607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-uni 3959  df-haus 17302
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