Theorem ishaus2 17377

Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ishaus2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   m, n, x, y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   X( m, n)

Proof of Theorem ishaus2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 16954	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		eqid 2412	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	ishaus 17348	. . . 4 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
4	3	baib 872	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Haus <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
5	1, 4	syl 16	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
6		toponuni 16955	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7	6	raleqdv 2878	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
8	6, 7	raleqbidv 2884	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
9	5, 8	bitr4d 248	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   i^i cin 3287   (/)c0 3596   U.cuni 3983   ` cfv 5421   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   Hauscha 17334

This theorem is referenced by:  hausnei2  17379  ordthaus  17410  regr1lem2  17733  methaus  18511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-topon 16929  df-haus 17341