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Theorem ishaus2 17296
Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
ishaus2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    m, n, x, y, J   
x, X, y
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem ishaus2
StepHypRef Expression
1 topontop 16881 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2366 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ishaus 17267 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
43baib 871 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
6 toponuni 16882 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 2827 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. y  e.  U. J
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
86, 7raleqbidv 2833 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
95, 8bitr4d 247 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629    i^i cin 3237   (/)c0 3543   U.cuni 3929   ` cfv 5358   Topctop 16848  TopOnctopon 16849   Hauscha 17253
This theorem is referenced by:  hausnei2  17298  ordthaus  17329  regr1lem2  17648  methaus  18279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-topon 16856  df-haus 17260
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