Theorem ishaus2 17420

Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ishaus2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   m, n, x, y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   X( m, n)

Proof of Theorem ishaus2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 16996	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		eqid 2438	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	ishaus 17391	. . . 4 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
4	3	baib 873	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Haus <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
5	1, 4	syl 16	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
6		toponuni 16997	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7	6	raleqdv 2912	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
8	6, 7	raleqbidv 2918	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
9	5, 8	bitr4d 249	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   i^i cin 3321   (/)c0 3630   U.cuni 4017   ` cfv 5457   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Hauscha 17377

This theorem is referenced by:  hausnei2  17422  ordthaus  17453  regr1lem2  17777  methaus  18555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-topon 16971  df-haus 17384