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Theorem ishaus2 17377
Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
ishaus2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    m, n, x, y, J   
x, X, y
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem ishaus2
StepHypRef Expression
1 topontop 16954 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ishaus 17348 . . . 4  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
43baib 872 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
6 toponuni 16955 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 2878 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. y  e.  U. J
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
86, 7raleqbidv 2884 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
95, 8bitr4d 248 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287   (/)c0 3596   U.cuni 3983   ` cfv 5421   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   Hauscha 17334
This theorem is referenced by:  hausnei2  17379  ordthaus  17410  regr1lem2  17733  methaus  18511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-topon 16929  df-haus 17341
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