Theorem ishaus2 17079

Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ishaus2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   m, n, x, y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   X( m, n)

Proof of Theorem ishaus2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 16664	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		eqid 2283	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	ishaus 17050	. . . 4 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
4	3	baib 871	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Haus <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
5	1, 4	syl 15	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
6		toponuni 16665	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7	6	raleqdv 2742	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
8	6, 7	raleqbidv 2748	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
9	5, 8	bitr4d 247	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Haus <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1684   =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   i^i cin 3151   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Hauscha 17036

This theorem is referenced by:  hausnei2  17081  ordthaus  17112  regr1lem2  17431  methaus  18066

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topon 16639  df-haus 17043