MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishaus3 Unicode version

Theorem ishaus3 17777
Description: A topological space is Hausdorff iff it is both T0 and R1 (where R1 means that any two topologically distinct points are separated by neighborhoods). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishaus3  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Haus )
)

Proof of Theorem ishaus3
StepHypRef Expression
1 haust1 17339 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 t1t0 17335 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Kol2 )
4 haushmph 17746 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  ( J  e.  Haus  ->  (KQ `  J
)  e.  Haus )
)
5 haushmph 17746 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Haus  ->  J  e.  Haus ) )
63, 4, 5ist1-5lem 17774 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Haus )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Kol2ct0 17293   Frect1 17294   Hauscha 17295  KQckq 17647
This theorem is referenced by:  reghaus  17779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-suc 4529  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-1o 6661  df-map 6957  df-topgen 13595  df-qtop 13661  df-top 16887  df-topon 16890  df-cld 17007  df-cn 17214  df-t0 17300  df-t1 17301  df-haus 17302  df-kq 17648  df-hmeo 17709  df-hmph 17710
  Copyright terms: Public domain W3C validator