MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishl2 Structured version   Unicode version

Theorem ishl2 19362
Description: A Hilbert space is a complete complex pre-Hilbert space over  RR or  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
hlress.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
ishl2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )

Proof of Theorem ishl2
StepHypRef Expression
1 ishl 19354 . 2  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil ) )
2 df-3an 939 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil )  <-> 
( ( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
3 3ancomb 946 . . 3  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil 
/\  K  e.  { RR ,  CC } )  <-> 
( W  e. CMetSp  /\  K  e.  { RR ,  CC }  /\  W  e.  CPreHil ) )
4 cphnvc 19177 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmVec )
5 hlress.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65isbn 19329 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )
)
7 3anass 941 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmVec  /\  W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp ) ) )
86, 7bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( W  e. Ban 
<->  ( W  e. NrmVec  /\  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
98baib 873 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmVec  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp
) ) )
11 hlress.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  F
)
125, 11cphsca 19180 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  =  (flds  K ) )
1312eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  (flds  K )  e. CMetSp ) )
145, 11cphsubrg 19181 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
15 cphlvec 19176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LVec )
165lvecdrng 16215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  F  e.  DivRing )
1812, 17eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (flds  K )  e.  DivRing )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
2019cncdrg 19351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing  /\  (flds  K )  e. CMetSp )  ->  K  e.  { RR ,  CC } )
21203expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  (
(flds  K
)  e. CMetSp  ->  K  e. 
{ RR ,  CC } ) )
2214, 18, 21syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  ->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
23 elpri 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  ( K  =  RR  \/  K  =  CC ) )
24 oveq2 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  =  (flds  RR ) )
25 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2625recld2 18883 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
27 cncms 19347 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e. CMetSp
28 ax-resscn 9085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (flds  RR )  =  (flds  RR )
30 cnfldbas 16745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3129, 30, 25cmsss 19341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  RR  C_  CC )  ->  ( (flds  RR )  e. CMetSp  <->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
3227, 28, 31mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (flds  RR )  e. CMetSp 
<->  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3326, 32mpbir 202 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  RR )  e. CMetSp
3424, 33syl6eqel 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  RR  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
35 oveq2 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  =  (flds  CC ) )
3630ressid 13562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (fld  e. CMetSp  ->  (flds  CC )  =fld )
3727, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (flds  CC )  =fld
3837, 27eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  (flds  CC )  e. CMetSp
3935, 38syl6eqel 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  CC  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4034, 39jaoi 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  =  RR  \/  K  =  CC )  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4123, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  { RR ,  CC }  ->  (flds  K )  e. CMetSp )
4222, 41impbid1 196 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( (flds  K )  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC }
) )
4313, 42bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  { RR ,  CC } ) )
4443anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( W  e. CMetSp  /\  F  e. CMetSp )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4510, 44bitrd 246 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( W  e. Ban  <->  ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } ) ) )
4645pm5.32ri 621 . . 3  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( ( W  e. CMetSp  /\  K  e. 
{ RR ,  CC } )  /\  W  e.  CPreHil ) )
472, 3, 463bitr4ri 271 . 2  |-  ( ( W  e. Ban  /\  W  e.  CPreHil )  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
481, 47bitri 242 1  |-  ( W  e.  CHil  <->  ( W  e. CMetSp  /\  W  e.  CPreHil  /\  K  e.  { RR ,  CC } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728    C_ wss 3309   {cpr 3844   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   CCcc 9026   RRcr 9027   Basecbs 13507   ↾s cress 13508  Scalarcsca 13570   TopOpenctopn 13687   DivRingcdr 15873  SubRingcsubrg 15902   LVecclvec 16212  ℂfldccnfld 16741   Clsdccld 17118  NrmVeccnvc 18667   CPreHilccph 19167  CMetSpccms 19323  Bancbn 19324   CHilchl 19325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-inf2 7632  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106  ax-addf 9107  ax-mulf 9108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-se 4577  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-isom 5498  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-of 6341  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-tpos 6515  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-1o 6760  df-2o 6761  df-oadd 6764  df-er 6941  df-map 7056  df-ixp 7100  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-fin 7149  df-fi 7452  df-sup 7482  df-oi 7515  df-card 7864  df-cda 8086  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-4 10098  df-5 10099  df-6 10100  df-7 10101  df-8 10102  df-9 10103  df-10 10104  df-n0 10260  df-z 10321  df-dec 10421  df-uz 10527  df-q 10613  df-rp 10651  df-xneg 10748  df-xadd 10749  df-xmul 10750  df-ioo 10958  df-ico 10960  df-icc 10961  df-fz 11082  df-fzo 11174  df-seq 11362  df-exp 11421  df-hash 11657  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-struct 13509  df-ndx 13510  df-slot 13511  df-base 13512  df-sets 13513  df-ress 13514  df-plusg 13580  df-mulr 13581  df-starv 13582  df-sca 13583  df-vsca 13584  df-tset 13586  df-ple 13587  df-ds 13589  df-unif 13590  df-hom 13591  df-cco 13592  df-rest 13688  df-topn 13689  df-topgen 13705  df-pt 13706  df-prds 13709  df-xrs 13764  df-0g 13765  df-gsum 13766  df-qtop 13771  df-imas 13772  df-xps 13774  df-mre 13849  df-mrc 13850  df-acs 13852  df-mnd 14728  df-submnd 14777  df-grp 14850  df-minusg 14851  df-mulg 14853  df-subg 14979  df-cntz 15154  df-cmn 15452  df-mgp 15687  df-rng 15701  df-cring 15702  df-ur 15703  df-oppr 15766  df-dvdsr 15784  df-unit 15785  df-invr 15815  df-dvr 15826  df-drng 15875  df-subrg 15904  df-lvec 16213  df-psmet 16732  df-xmet 16733  df-met 16734  df-bl 16735  df-mopn 16736  df-fbas 16737  df-fg 16738  df-cnfld 16742  df-phl 16895  df-top 17001  df-bases 17003  df-topon 17004  df-topsp 17005  df-cld 17121  df-ntr 17122  df-cls 17123  df-nei 17200  df-cn 17329  df-cnp 17330  df-haus 17417  df-cmp 17488  df-tx 17632  df-hmeo 17825  df-fil 17916  df-flim 18009  df-fcls 18011  df-xms 18388  df-ms 18389  df-tms 18390  df-nvc 18673  df-cncf 18946  df-cph 19169  df-cfil 19246  df-cmet 19248  df-cms 19326  df-bn 19327  df-hl 19328
  Copyright terms: Public domain W3C validator