MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishmeo Unicode version

Theorem ishmeo 17450
Description: The predicate F is a homeomorphism between topology  J and topology  K. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishmeo  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem ishmeo
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 4855 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21eleq1d 2349 . 2  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f  e.  ( K  Cn  J )  <->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
3 hmeofval 17449 . 2  |-  ( J 
Homeo  K )  =  {
f  e.  ( J  Cn  K )  |  `' f  e.  ( K  Cn  J ) }
42, 3elrab2 2925 1  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   `'ccnv 4688  (class class class)co 5858    Cn ccn 16954    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  hmeocn  17451  hmeocnvcn  17452  hmeocnv  17453  hmeores  17462  hmeoco  17463  idhmeo  17464  indishmph  17489  cmphaushmeo  17491  ordthmeo  17493  txhmeo  17494  txswaphmeo  17496  pt1hmeo  17497  ptunhmeo  17499  xkohmeo  17506  qtopf1  17507  qtophmeo  17508  grpinvhmeo  17769  tgplacthmeo  17786  cncfcnvcn  18424  icchmeo  18439  cnrehmeo  18451  cnheiborlem  18452  ismtyhmeo  26529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-hmeo 17446
  Copyright terms: Public domain W3C validator