Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ishomd Unicode version

Theorem ishomd 25893
Description: The predicate  F  e.  ( ( hom `  T
) `  <. A ,  B >. ) JFM vol. 1.2 p. 411 th. 18. (Contributed by FL, 30-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ishomd.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
ishomd.2  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
ishomd.3  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
ishomd.4  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
ishomd.5  |-  H  =  ( hom `  T
)
Assertion
Ref Expression
ishomd  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  M  /\  ( D `  F )  =  A  /\  ( C `  F )  =  B ) ) )

Proof of Theorem ishomd
StepHypRef Expression
1 ishomd.1 . . . . . . 7  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
2 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( id_ `  T
)  =  ( id_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
32dmeqd 4897 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  dom  ( id_ `  T
)  =  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
41, 3syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  O  =  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
54eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( A  e.  O  <->  A  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) ) )
64eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( B  e.  O  <->  B  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) ) )
75, 6anbi12d 691 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  <->  ( A  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  B  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) ) ) )
8 ishomd.5 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( hom `  T
)
9 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( hom `  T
)  =  ( hom `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
108, 9syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  H  =  ( hom `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
1110fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( H `  <. A ,  B >. )  =  ( ( hom `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  <. A ,  B >. ) )
1211eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  F  e.  ( ( hom `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  <. A ,  B >. ) ) )
13 ishomd.2 . . . . . . . 8  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
14 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( dom_ `  T
)  =  ( dom_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
1514dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  dom  ( dom_ `  T
)  =  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
1613, 15syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  M  =  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
1716eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( F  e.  M  <->  F  e.  dom  ( dom_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) ) )
18 ishomd.3 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
1918, 14syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  D  =  ( dom_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
2019fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( D `  F
)  =  ( (
dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )
)
2120eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( ( D `  F )  =  A  <-> 
( ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  A ) )
22 ishomd.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
23 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( cod_ `  T
)  =  ( cod_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
2422, 23syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  C  =  ( cod_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )
2524fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( C `  F
)  =  ( (
cod_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )
)
2625eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( ( C `  F )  =  B  <-> 
( ( cod_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  B ) )
2717, 21, 263anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( ( F  e.  M  /\  ( D `
 F )  =  A  /\  ( C `
 F )  =  B )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  ( ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  B ) ) )
2812, 27bibi12d 312 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  M  /\  ( D `  F )  =  A  /\  ( C `  F )  =  B ) )  <->  ( F  e.  ( ( hom `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  ( ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  B ) ) ) )
297, 28imbi12d 311 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  ->  ( ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  M  /\  ( D `
 F )  =  A  /\  ( C `
 F )  =  B ) ) )  <-> 
( ( A  e. 
dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  B  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )  ->  ( F  e.  ( ( hom `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  ( ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  B ) ) ) ) )
30 eqid 2296 . . . 4  |-  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  =  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)
31 eqid 2296 . . . 4  |-  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  =  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)
32 eqid 2296 . . . 4  |-  ( dom_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  =  ( dom_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)
33 eqid 2296 . . . 4  |-  ( cod_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  =  ( cod_ `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)
34 eqid 2296 . . . 4  |-  ( hom `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  =  ( hom `  if ( T  e. 
Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. }
>. ,  <. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)
35 vex 2804 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
36351cat 25862 . . . . 5  |-  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >.  e.  Cat OLD
3736elimel 3630 . . . 4  |-  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )  e.  Cat OLD
3830, 31, 32, 33, 34, 37ishomc 25892 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  B  e.  dom  ( id_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) )  ->  ( F  e.  ( ( hom `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD 
,  T ,  <. <. { <. <. x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
)  /\  ( ( dom_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  A  /\  (
( cod_ `  if ( T  e.  Cat OLD  ,  T ,  <. <. { <. <.
x ,  x >. ,  x >. } ,  { <. <. x ,  x >. ,  x >. } >. , 
<. { <. x ,  <. x ,  x >. >. } ,  { <. <. <. x ,  x >. ,  <. x ,  x >. >. ,  <. x ,  x >. >. } >. >. )
) `  F )  =  B ) ) )
3929, 38dedth 3619 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( A  e.  O  /\  B  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  M  /\  ( D `  F )  =  A  /\  ( C `  F )  =  B ) ) ) )
40393impib 1149 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  A  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. A ,  B >. )  <->  ( F  e.  M  /\  ( D `  F )  =  A  /\  ( C `  F )  =  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   {csn 3653   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817    Cat
OLD ccatOLD 25855   homchomOLD 25888
This theorem is referenced by:  ehm  25894  dehm  25895  cehm  25896  mrdmcd  25897  homgrf  25905  imonclem  25916  ismonc  25917  iepiclem  25926  isepic  25927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-alg 25819  df-ded 25838  df-catOLD 25856  df-homOLD 25889
  Copyright terms: Public domain W3C validator