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Theorem isibg2aalem1 26216
Description: Properties of an incidence-betweenness geometry. (Contributed by FL, 10-Aug-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
isibg2aalem1.1  |-  P  =  (PPoints `  G )
isibg2aalem1.2  |-  L  =  (PLines `  G )
Assertion
Ref Expression
isibg2aalem1  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( ( x  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( x  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  \/  ( x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( x B z )  ->  (
y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( X  =/=  Y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) )  /\  ( ( Y  e.  ( X B z )  -> 
( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, a,
y, X    Y, a,
y    x, b, y, X    Y, b    x, c, y, X    Y, c    x, l, y, X    Y, l    x, z, y, X    x, B, y    x, C, y   
x, L, y    x, P, y    z, Y
Allowed substitution hints:    B( z, a, b, c, l)    C( z, a, b, c, l)    P( z, a, b, c, l)    G( x, y, z, a, b, c, l)    L( z, a, b, c, l)    Y( x)

Proof of Theorem isibg2aalem1
StepHypRef Expression
1 neeq1 2467 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =/=  y  <->  X  =/=  y ) )
2 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( a B y )  <->  X  e.  ( a B y ) ) )
3 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x B y )  =  ( X B y ) )
43eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
b  e.  ( x B y )  <->  b  e.  ( X B y ) ) )
5 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x B c )  =  ( X B c ) )
65eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x B c )  <->  y  e.  ( X B c ) ) )
72, 4, 63anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) )  <->  ( X  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) ) )
87rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( E. c  e.  P  ( x  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) )  <->  E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) ) )
982rexbidv 2599 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( x  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) ) )
101, 9imbi12d 311 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( x  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) ) )  <->  ( X  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) ) ) )
11 tpeq1 3728 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  { x ,  y ,  z }  =  { X ,  y ,  z } )
1211eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( { x ,  y ,  z }  e.  C 
<->  { X ,  y ,  z }  e.  C ) )
13 neeq1 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =/=  z  <->  X  =/=  z ) )
141, 133anbi12d 1253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
)  <->  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z ) ) )
1512, 14anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  (
x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z ) )  <->  ( { X ,  y , 
z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) ) )
16 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( y B z )  <->  X  e.  ( y B z ) ) )
17 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  y  =  y )
18 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x B z )  =  ( X B z ) )
1917, 18neleq12d 25036 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e/  ( x B z )  <->  y  e/  ( X B z ) ) )
20 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  z  =  z )
2120, 3neleq12d 25036 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
z  e/  ( x B y )  <->  z  e/  ( X B y ) ) )
2216, 19, 213anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  <->  ( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) ) ) )
23 neleq1 2550 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e/  ( y B z )  <->  X  e/  ( y B z ) ) )
2418eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x B z )  <->  y  e.  ( X B z ) ) )
2523, 24, 213anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  <->  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) ) ) )
263eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
z  e.  ( x B y )  <->  z  e.  ( X B y ) ) )
2723, 19, 263anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e/  (
y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) )  <->  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )
2822, 25, 273orbi123d 1251 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  ( x  e/  (
y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) )  <->  ( ( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) ) )
2915, 28imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  \/  ( x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) ) )  <-> 
( ( { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) ) ) )
30 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
z B x )  =  ( z B X ) )
3130eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( z B x )  <->  y  e.  ( z B X ) ) )
3231, 12, 143anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  (
x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z ) )  <->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) ) )
3324, 32imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  ( x B z )  ->  ( y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  <->  ( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) ) ) )
34 neleq1 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e/  l  <->  X  e/  l ) )
35343anbi1d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  <->  ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
) ) )
363ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x B y )  i^i  l )  =  ( ( X B y )  i^i  l ) )
3736eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x B y )  i^i  l
)  =  (/)  <->  ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/) ) )
3837anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  <->  ( (
( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) )
3918ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( x B z )  i^i  l )  =  ( ( X B z )  i^i  l ) )
4039eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/)  <->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) )
4138, 40imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( x B z )  i^i  l )  =  (/) ) 
<->  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) )
4236neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x B y )  i^i  l
)  =/=  (/)  <->  ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/) ) )
4342anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  <->  ( (
( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) ) ) )
4443, 40imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  <->  ( (
( ( X B y )  i^i  l
)  =/=  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  (
( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) )
4541, 44anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  (
( x B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  (
( x B z )  i^i  l )  =  (/) ) )  <->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) )
4635, 45imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) )  <->  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) )
4746ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) )  <->  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) )
4833, 47anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( y  e.  ( x B z )  ->  ( y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) )  <->  ( (
y  e.  ( X B z )  -> 
( y  e.  ( z B X )  /\  { X , 
y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) )
4929, 48anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  \/  ( x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( x B z )  ->  (
y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) )  <->  ( (
( { X , 
y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( X B z )  ->  (
y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) ) )
5049ralbidv 2576 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  P  ( ( ( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  \/  ( x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( x B z )  ->  (
y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) )  <->  A. z  e.  P  ( (
( { X , 
y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( X B z )  ->  (
y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) ) )
5110, 50anbi12d 691 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( x  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  \/  ( x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( x B z )  ->  (
y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( X  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) ) ) )
52 neeq2 2468 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  =/=  y  <->  X  =/=  Y ) )
53 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
a B y )  =  ( a B Y ) )
5453eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  e.  ( a B y )  <->  X  e.  ( a B Y ) ) )
55 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( X B y )  =  ( X B Y ) )
5655eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
b  e.  ( X B y )  <->  b  e.  ( X B Y ) ) )
57 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X B c )  <->  Y  e.  ( X B c ) ) )
5854, 56, 573anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) )  <->  ( X  e.  ( a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) ) )
5958rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) )  <->  E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) ) )
60592rexbidv 2599 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) ) )
6152, 60imbi12d 311 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  (
a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) )  <->  ( X  =/=  Y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) ) ) )
62 tpeq2 3729 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  { X ,  y ,  z }  =  { X ,  Y ,  z } )
6362eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( { X ,  y ,  z }  e.  C  <->  { X ,  Y , 
z }  e.  C
) )
64 neeq1 2467 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  =/=  z  <->  Y  =/=  z ) )
6552, 643anbi13d 1254 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
)  <->  ( X  =/= 
Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z
) ) )
6663, 65anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( { X , 
y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z ) )  <->  ( { X ,  Y , 
z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z
) ) ) )
67 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
y B z )  =  ( Y B z ) )
6867eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  e.  ( y B z )  <->  X  e.  ( Y B z ) ) )
69 neleq1 2550 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e/  ( X B z )  <->  Y  e/  ( X B z ) ) )
70 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  z  =  z )
7170, 55neleq12d 25036 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  e/  ( X B y )  <->  z  e/  ( X B Y ) ) )
7268, 69, 713anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  <->  ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) ) ) )
73 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  X  =  X )
7473, 67neleq12d 25036 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  e/  ( y B z )  <->  X  e/  ( Y B z ) ) )
75 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X B z )  <->  Y  e.  ( X B z ) ) )
7674, 75, 713anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  <-> 
( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) ) ) )
7755eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  e.  ( X B y )  <->  z  e.  ( X B Y ) ) )
7874, 69, 773anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  e/  (
y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) )  <-> 
( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) )
7972, 76, 783orbi123d 1251 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) )  <->  ( ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) ) )
8066, 79imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  <->  ( ( { X ,  Y , 
z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z
) )  ->  (
( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) ) ) )
81 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( z B X )  <->  Y  e.  ( z B X ) ) )
8281, 63, 653anbi123d 1252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  e.  ( z B X )  /\  { X , 
y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z ) )  <->  ( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) ) )
8375, 82imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  <->  ( Y  e.  ( X B z )  ->  ( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) ) ) )
84 neleq1 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e/  l  <->  Y  e/  l ) )
85843anbi2d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  <->  ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l
) ) )
8655ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X B y )  i^i  l )  =  ( ( X B Y )  i^i  l ) )
8786eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X B y )  i^i  l
)  =  (/)  <->  ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/) ) )
8867ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y B z )  i^i  l )  =  ( ( Y B z )  i^i  l ) )
8988eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/)  <->  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) ) )
9087, 89anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  <->  ( (
( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  (
( Y B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) )
9190imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) 
<->  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) )
9286neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X B y )  i^i  l
)  =/=  (/)  <->  ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/) ) )
9388neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( y B z )  i^i  l
)  =/=  (/)  <->  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) ) )
9492, 93anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  <->  ( (
( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) ) ) )
9594imbi1d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  <->  ( (
( ( X B Y )  i^i  l
)  =/=  (/)  /\  (
( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  (
( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) )
9691, 95anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  (
( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  (
( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  (
( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) )  <->  ( (
( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) )
9785, 96imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) )  <->  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) )
9897ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) )  <->  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) )
9983, 98anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) )  <->  ( ( Y  e.  ( X B z )  -> 
( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) )
10080, 99anbi12d 691 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) )  <->  ( (
( { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) )  /\  ( ( Y  e.  ( X B z )  -> 
( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) ) )
101100ralbidv 2576 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. z  e.  P  ( ( ( { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) )  <->  A. z  e.  P  ( (
( { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) )  /\  ( ( Y  e.  ( X B z )  -> 
( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) ) )
10261, 101anbi12d 691 . 2  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( X B y )  /\  y  e.  ( X B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
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( X  e.  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  (
y B z )  /\  y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B y ) )  \/  ( X  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( X B z )  ->  ( y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  y  /\  X  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( X B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
)  =  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( X B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( X  =/= 
Y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) )  /\  ( ( Y  e.  ( X B z )  -> 
( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) ) ) )
10351, 102rspc2v 2903 1  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( ( x  =/=  y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( x  e.  ( a B y )  /\  b  e.  ( x B y )  /\  y  e.  ( x B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) )  ->  (
( x  e.  ( y B z )  /\  y  e/  (
x B z )  /\  z  e/  (
x B y ) )  \/  ( x  e/  ( y B z )  /\  y  e.  ( x B z )  /\  z  e/  ( x B y ) )  \/  (
x  e/  ( y B z )  /\  y  e/  ( x B z )  /\  z  e.  ( x B y ) ) ) )  /\  ( ( y  e.  ( x B z )  ->  (
y  e.  ( z B x )  /\  { x ,  y ,  z }  e.  C  /\  ( x  =/=  y  /\  x  =/=  z  /\  y  =/=  z
) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( x  e/  l  /\  y  e/  l  /\  z  e/  l
)  ->  ( (
( ( ( x B y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l
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( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) )  /\  ( ( ( ( x B y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  -> 
( ( x B z )  i^i  l
)  =  (/) ) ) ) ) ) )  ->  ( ( X  =/=  Y  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  ( X  e.  ( a B Y )  /\  b  e.  ( X B Y )  /\  Y  e.  ( X B c ) ) )  /\  A. z  e.  P  ( ( ( { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) )  -> 
( ( X  e.  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e.  ( X B z )  /\  z  e/  ( X B Y ) )  \/  ( X  e/  ( Y B z )  /\  Y  e/  ( X B z )  /\  z  e.  ( X B Y ) ) ) )  /\  ( ( Y  e.  ( X B z )  -> 
( Y  e.  ( z B X )  /\  { X ,  Y ,  z }  e.  C  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  z  /\  Y  =/=  z ) ) )  /\  A. l  e.  L  ( ( X  e/  l  /\  Y  e/  l  /\  z  e/  l )  ->  (
( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) )  /\  ( ( ( ( X B Y )  i^i  l )  =/=  (/)  /\  ( ( Y B z )  i^i  l )  =/=  (/) )  ->  ( ( X B z )  i^i  l )  =  (/) ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {ctp 3655   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  PPointscpoints 26159  PLinescplines 26161
This theorem is referenced by:  isib2g1a1  26219  isibg1a2  26220  isibg2a  26221  isibg1a3a  26225  isibg1spa  26226  isibg1a5a  26227  bsstr  26231  nbssntr  26232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877
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