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Theorem isibl 19657
Description: The predicate " F is integrable". The "integrable" predicate corresponds roughly to the range of validity of  S. A B  _d x, which is to say that the expression  S. A B  _d x doesn't make sense unless  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
isibl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
isibl.3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
isibl.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
Assertion
Ref Expression
isibl  |-  ( ph  ->  ( F  e.  L ^1 
<->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    k, F, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x, k)    G( x, k)

Proof of Theorem isibl
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( Re
`  ( ( f `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
2 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )
3 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
0  <_  y  <->  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
43anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  (
( x  e.  dom  f  /\  0  <_  y
)  <->  ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
5 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
6 eqidd 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  0  =  0 )
74, 5, 6ifbieq12d 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  ->  if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
81, 2, 7csbief 3292 . . . . . . . 8  |-  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )
9 dmeq 5070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
109eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  dom  f  <->  x  e.  dom  F ) )
11 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
1211oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) )  =  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) )
1312fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) )
1413breq2d 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) )
1510, 14anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  dom  f  /\  0  <_  (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) )  <->  ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
16 eqidd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  0  =  0 )
1715, 13, 16ifbieq12d 3761 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  ( Re `  (
( f `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
188, 17syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
1918mpteq2dv 4296 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2019fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  (
_i ^ k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( F `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
2120eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
2221ralbidv 2725 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. k  e.  (
0 ... 3 ) ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ (
Re `  ( (
f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
23 df-ibl 19515 . . 3  |-  L ^1  =  { f  e. MblFn  |  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( ( f `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e. 
dom  f  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) ) )  e.  RR }
2422, 23elrab2 3094 . 2  |-  ( F  e.  L ^1  <->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
25 isibl.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
2625eleq2d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F  <-> 
x  e.  A ) )
2726anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ) )
2827ifbid 3757 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 ) )
29 isibl.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
3029oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) )  =  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )
3130fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
32 isibl.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3331, 32eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) )  =  T )
3433ibllem 19656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3528, 34eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( ( F `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3635mpteq2dv 4296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
37 isibl.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3836, 37eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  G )
3938fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  G ) )
4039eleq1d 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  G )  e.  RR ) )
4140ralbidv 2725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) )
4241anbi2d 685 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  (
( F `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( F `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <-> 
( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
4324, 42syl5bb 249 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  L ^1 
<->  ( F  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3 ) ( S.2 `  G )  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   [_csb 3251   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   _ici 8992    <_ cle 9121    / cdiv 9677   3c3 10050   ...cfz 11043   ^cexp 11382   Recre 11902  MblFncmbf 19506   S.2citg2 19508   L ^1cibl 19509
This theorem is referenced by:  isibl2  19658  ibl0  19678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-nul 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084  df-ibl 19515
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