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Theorem isibl2 19527
Description: The predicate " F is integrable" when  F is a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
isibl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
isibl2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isibl2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    ph, k, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x, k)    G( x, k)    V( k)

Proof of Theorem isibl2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isibl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
2 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcv 2525 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
0
4 nfcv 2525 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2525 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x Re
6 nffvmpt1 5678 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
7 nfcv 2525 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  /
8 nfcv 2525 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
96, 7, 8nfov 6045 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) )
105, 9nffv 5677 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) )
113, 4, 10nfbr 4199 . . . . . . 7  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) ) )
122, 11nfan 1836 . . . . . 6  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
1312, 10, 3nfif 3708 . . . . 5  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )
14 nfcv 2525 . . . . 5  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )
15 eleq1 2449 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
16 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1716oveq1d 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )
1817fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
1918breq2d 4167 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) )
2015, 19anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ) )
21 eqidd 2390 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
2220, 18, 21ifbieq12d 3706 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2313, 14, 22cbvmpt 4242 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
24 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
25 isibl2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
26 eqid 2389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
2726fvmpt2 5753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2824, 25, 27syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
2928oveq1d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) )  =  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3029fveq2d 5674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
31 isibl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3230, 31eqtr4d 2424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  T )
3332ibllem 19525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3433mpteq2dv 4239 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3523, 34syl5eq 2433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
361, 35eqtr4d 2424 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )
37 eqidd 2390 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
3825, 26fmptd 5834 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> V )
39 fdm 5537 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
4038, 39syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
41 eqidd 2390 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
4236, 37, 40, 41isibl 19526 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   _ici 8927    <_ cle 9056    / cdiv 9611   3c3 9984   ...cfz 10977   ^cexp 11311   Recre 11831  MblFncmbf 19375   S.2citg2 19377   L ^1cibl 19378
This theorem is referenced by:  iblitg  19529  iblcnlem1  19548  iblss  19565  iblss2  19566  itgeqa  19574  iblconst  19578  iblabsr  19590  iblmulc2  19591  iblmulc2nc  25972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fv 5404  df-ov 6025  df-ibl 19384
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