Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isibl2 Unicode version

Theorem isibl2 19137
 Description: The predicate " is integrable" when is a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1
isibl.2
isibl2.3
Assertion
Ref Expression
isibl2 MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem isibl2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isibl.1 . . 3
2 nfv 1609 . . . . . . 7
3 nfcv 2432 . . . . . . . 8
4 nfcv 2432 . . . . . . . 8
5 nfcv 2432 . . . . . . . . 9
6 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . 11
7 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11
86, 7nffv 5548 . . . . . . . . . 10
9 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
10 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10
118, 9, 10nfov 5897 . . . . . . . . 9
125, 11nffv 5548 . . . . . . . 8
133, 4, 12nfbr 4083 . . . . . . 7
142, 13nfan 1783 . . . . . 6
1514, 12, 3nfif 3602 . . . . 5
16 nfcv 2432 . . . . 5
17 eleq1 2356 . . . . . . 7
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
1918oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
2019fveq2d 5545 . . . . . . . 8
2120breq2d 4051 . . . . . . 7
2217, 21anbi12d 691 . . . . . 6
23 eqidd 2297 . . . . . 6
2422, 20, 23ifbieq12d 3600 . . . . 5
2515, 16, 24cbvmpt 4126 . . . 4
26 simpr 447 . . . . . . . . . 10
27 isibl2.3 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
2928fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10
3026, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9
3130oveq1d 5889 . . . . . . . 8
3231fveq2d 5545 . . . . . . 7
33 isibl.2 . . . . . . 7
3432, 33eqtr4d 2331 . . . . . 6
3534ibllem 19135 . . . . 5
3635mpteq2dv 4123 . . . 4
3725, 36syl5eq 2340 . . 3
381, 37eqtr4d 2331 . 2
39 eqidd 2297 . 2
4027, 28fmptd 5700 . . 3
41 fdm 5409 . . 3
4240, 41syl 15 . 2
43 eqidd 2297 . 2
4438, 39, 42, 43isibl 19136 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  ci 8755   cle 8884   cdiv 9439  c3 9812  cfz 10798  cexp 11120  cre 11598  MblFncmbf 18985  citg2 18987  cibl 18988 This theorem is referenced by:  iblitg  19139  iblcnlem1  19158  iblss  19175  iblss2  19176  itgeqa  19184  iblconst  19188  iblabsr  19200  iblmulc2  19201  iblmulc2nc  25016 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ibl 18994
 Copyright terms: Public domain W3C validator