Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isibl2 Structured version   Unicode version

Theorem isibl2 19648
 Description: The predicate " is integrable" when is a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1
isibl.2
isibl2.3
Assertion
Ref Expression
isibl2 MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem isibl2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isibl.1 . . 3
2 nfv 1629 . . . . . . 7
3 nfcv 2571 . . . . . . . 8
4 nfcv 2571 . . . . . . . 8
5 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
6 nffvmpt1 5728 . . . . . . . . . 10
7 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10
8 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10
96, 7, 8nfov 6096 . . . . . . . . 9
105, 9nffv 5727 . . . . . . . 8
113, 4, 10nfbr 4248 . . . . . . 7
122, 11nfan 1846 . . . . . 6
1312, 10, 3nfif 3755 . . . . 5
14 nfcv 2571 . . . . 5
15 eleq1 2495 . . . . . . 7
16 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
1716oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
1817fveq2d 5724 . . . . . . . 8
1918breq2d 4216 . . . . . . 7
2015, 19anbi12d 692 . . . . . 6
21 eqidd 2436 . . . . . 6
2220, 18, 21ifbieq12d 3753 . . . . 5
2313, 14, 22cbvmpt 4291 . . . 4
24 simpr 448 . . . . . . . . . 10
25 isibl2.3 . . . . . . . . . 10
26 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
2726fvmpt2 5804 . . . . . . . . . 10
2824, 25, 27syl2anc 643 . . . . . . . . 9
2928oveq1d 6088 . . . . . . . 8
3029fveq2d 5724 . . . . . . 7
31 isibl.2 . . . . . . 7
3230, 31eqtr4d 2470 . . . . . 6
3332ibllem 19646 . . . . 5
3433mpteq2dv 4288 . . . 4
3523, 34syl5eq 2479 . . 3
361, 35eqtr4d 2470 . 2
37 eqidd 2436 . 2
3825, 26fmptd 5885 . . 3
39 fdm 5587 . . 3
4038, 39syl 16 . 2
41 eqidd 2436 . 2
4236, 37, 40, 41isibl 19647 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cif 3731   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8979  cc0 8980  ci 8982   cle 9111   cdiv 9667  c3 10040  cfz 11033  cexp 11372  cre 11892  MblFncmbf 19496  citg2 19498  cibl 19499 This theorem is referenced by:  iblitg  19650  iblcnlem1  19669  iblss  19686  iblss2  19687  itgeqa  19695  iblconst  19699  iblabsr  19711  iblmulc2  19712  iblmulc2nc  26233 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-ibl 19505
 Copyright terms: Public domain W3C validator