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Theorem isibl2 19121
Description: The predicate " F is integrable" when  F is a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isibl.1  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
isibl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
isibl2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isibl2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) ) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    ph, k, x    x, V
Allowed substitution hints:    B( x)    T( x, k)    G( x, k)    V( k)

Proof of Theorem isibl2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isibl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
2 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
0
4 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  <_
5 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x Re
6 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
7 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
y
86, 7nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
9 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x  /
10 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( _i ^ k
)
118, 9, 10nfov 5881 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) )
125, 11nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) )
133, 4, 12nfbr 4067 . . . . . . 7  |-  F/ x
0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) ) )
142, 13nfan 1771 . . . . . 6  |-  F/ x
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
1514, 12, 3nfif 3589 . . . . 5  |-  F/_ x if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )
16 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ y if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )
17 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
18 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1918oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )
2019fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
2120breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  / 
( _i ^ k
) ) )  <->  0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) ) ) )
2217, 21anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ) )
23 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
2422, 20, 23ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2515, 16, 24cbvmpt 4110 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
26 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
27 isibl2.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
2928fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
3026, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
3130oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) )  =  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
3231fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) )
33 isibl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  T  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
3432, 33eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  T )
3534ibllem 19119 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) )
3635mpteq2dv 4107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
3725, 36syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  T ) ,  T ,  0 ) ) )
381, 37eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( y  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )
39 eqidd 2284 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  /  ( _i
^ k ) ) )  =  ( Re
`  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  /  ( _i ^
k ) ) ) )
4027, 28fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> V )
41 fdm 5393 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
4240, 41syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
43 eqidd 2284 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
4438, 39, 42, 43isibl 19120 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  G
)  e.  RR ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   _ici 8739    <_ cle 8868    / cdiv 9423   3c3 9796   ...cfz 10782   ^cexp 11104   Recre 11582  MblFncmbf 18969   S.2citg2 18971   L ^1cibl 18972
This theorem is referenced by:  iblitg  19123  iblcnlem1  19142  iblss  19159  iblss2  19160  itgeqa  19168  iblconst  19172  iblabsr  19184  iblmulc2  19185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ibl 18978
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