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Theorem isidl 26742
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( x, y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
4 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
51, 2, 3, 4idlval 26741 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Idl `  R
)  =  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2363 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
81, 7eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
98rnex 4958 . . . . . 6  |-  ran  G  e.  _V
103, 9eqeltri 2366 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
1110elpw2 4191 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P X  <->  I  C_  X
)
1211anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
13 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
14 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x G y )  e.  i  <->  ( x G y )  e.  I ) )
1514raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x G y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I ) )
16 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z H x )  e.  i  <->  ( z H x )  e.  I ) )
17 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x H z )  e.  i  <->  ( x H z )  e.  I ) )
1816, 17anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
1918ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
2015, 19anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2213, 21anbi12d 691 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2322elrab 2936 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
24 3anass 938 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2512, 23, 243bitr4i 268 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
266, 25syl6bb 252 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137  GIdcgi 20870   RingOpscrngo 21058   Idlcidl 26735
This theorem is referenced by:  isidlc  26743  idlss  26744  idl0cl  26746  idladdcl  26747  idllmulcl  26748  idlrmulcl  26749  rngoidl  26752  0idl  26753  intidl  26757  unichnidl  26759  keridl  26760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-idl 26738
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