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Theorem isidl 26561
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( x, y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
4 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
51, 2, 3, 4idlval 26560 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Idl `  R
)  =  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2502 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5733 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
81, 7eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
98rnex 5124 . . . . . 6  |-  ran  G  e.  _V
103, 9eqeltri 2505 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
1110elpw2 4356 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P X  <->  I  C_  X
)
1211anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
13 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
14 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x G y )  e.  i  <->  ( x G y )  e.  I ) )
1514raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x G y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I ) )
16 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z H x )  e.  i  <->  ( z H x )  e.  I ) )
17 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x H z )  e.  i  <->  ( x H z )  e.  I ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
1918ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
2015, 19anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2904 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2213, 21anbi12d 692 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2322elrab 3084 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
24 3anass 940 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2512, 23, 243bitr4i 269 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
266, 25syl6bb 253 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   ran crn 4870   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   1stc1st 6338   2ndc2nd 6339  GIdcgi 21763   RingOpscrngo 21951   Idlcidl 26554
This theorem is referenced by:  isidlc  26562  idlss  26563  idl0cl  26565  idladdcl  26566  idllmulcl  26567  idlrmulcl  26568  rngoidl  26571  0idl  26572  intidl  26576  unichnidl  26578  keridl  26579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fv 5453  df-ov 6075  df-idl 26557
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