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Theorem isidl 26662
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( x, y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
4 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
51, 2, 3, 4idlval 26661 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Idl `  R
)  =  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2509 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P X  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5771 . . . . . . . 8  |-  ( 1st `  R )  e.  _V
81, 7eqeltri 2512 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
98rnex 5162 . . . . . 6  |-  ran  G  e.  _V
103, 9eqeltri 2512 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
1110elpw2 4393 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P X  <->  I  C_  X
)
1211anbi1i 678 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
13 eleq2 2503 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
14 eleq2 2503 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x G y )  e.  i  <->  ( x G y )  e.  I ) )
1514raleqbi1dv 2918 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x G y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I ) )
16 eleq2 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z H x )  e.  i  <->  ( z H x )  e.  I ) )
17 eleq2 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x H z )  e.  i  <->  ( x H z )  e.  I ) )
1816, 17anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
1918ralbidv 2731 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i )  <->  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )
2015, 19anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2918 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
2213, 21anbi12d 693 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( (
z H x )  e.  i  /\  (
x H z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2322elrab 3098 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
24 3anass 941 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
2512, 23, 243bitr4i 270 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P X  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x G y )  e.  i  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  i  /\  ( x H z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
266, 25syl6bb 254 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   {crab 2715   _Vcvv 2962    C_ wss 3306   ~Pcpw 3823   ran crn 4908   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1stc1st 6376   2ndc2nd 6377  GIdcgi 21806   RingOpscrngo 21994   Idlcidl 26655
This theorem is referenced by:  isidlc  26663  idlss  26664  idl0cl  26666  idladdcl  26667  idllmulcl  26668  idlrmulcl  26669  rngoidl  26672  0idl  26673  intidl  26677  unichnidl  26679  keridl  26680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fv 5491  df-ov 6113  df-idl 26658
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