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Theorem isidlNEW 25446
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by FL, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
idlvalNEW.1  |-  P  =  ( +g  `  R
)
idlvalNEW.2  |-  T  =  ( .r `  R
)
idlvalNEW.3  |-  B  =  ( Base `  R
)
idlvalNEW.4  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
isidlNEW  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  (IdlNEW `  R
)  <->  ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, I,
y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z)    P( x, y, z)    T( x, y, z)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidlNEW
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlvalNEW.1 . . . 4  |-  P  =  ( +g  `  R
)
2 idlvalNEW.2 . . . 4  |-  T  =  ( .r `  R
)
3 idlvalNEW.3 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 idlvalNEW.4 . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
51, 2, 3, 4idlvalNEW 25445 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (IdlNEW `  R )  =  {
i  e.  ~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2350 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  (IdlNEW `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P B  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
83, 7eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
98elpw2 4175 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P B  <->  I  C_  B
)
109anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
11 eleq2 2344 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
12 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x P y )  e.  i  <->  ( x P y )  e.  I ) )
1312raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x P y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I ) )
14 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z T x )  e.  i  <->  ( z T x )  e.  I ) )
15 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x T z )  e.  i  <->  ( x T z )  e.  I ) )
1614, 15anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i )  <->  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) )
1716ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i )  <->  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) )
1813, 17anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )
1918raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )
2011, 19anbi12d 691 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
2120elrab 2923 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
22 3anass 938 . . 3  |-  ( ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
2310, 21, 223bitr4i 268 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )
246, 23syl6bb 252 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  (IdlNEW `  R
)  <->  ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  IdlNEWcidln 25443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-idlNEW 25444
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