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Theorem isidlNEW 25549
Description: The predicate "is an ideal of the ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by FL, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
idlvalNEW.1  |-  P  =  ( +g  `  R
)
idlvalNEW.2  |-  T  =  ( .r `  R
)
idlvalNEW.3  |-  B  =  ( Base `  R
)
idlvalNEW.4  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
Assertion
Ref Expression
isidlNEW  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  (IdlNEW `  R
)  <->  ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, R    x, I,
y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z)    P( x, y, z)    T( x, y, z)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidlNEW
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlvalNEW.1 . . . 4  |-  P  =  ( +g  `  R
)
2 idlvalNEW.2 . . . 4  |-  T  =  ( .r `  R
)
3 idlvalNEW.3 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 idlvalNEW.4 . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  R
)
51, 2, 3, 4idlvalNEW 25548 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  (IdlNEW `  R )  =  {
i  e.  ~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  (
x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) } )
65eleq2d 2363 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  (IdlNEW `  R
)  <->  I  e.  { i  e.  ~P B  | 
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) ) } ) )
7 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
83, 7eqeltri 2366 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
98elpw2 4191 . . . 4  |-  ( I  e.  ~P B  <->  I  C_  B
)
109anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( I  e.  ~P B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )  <->  ( I  C_  B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
11 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( Z  e.  i  <->  Z  e.  I ) )
12 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( x P y )  e.  i  <->  ( x P y )  e.  I ) )
1312raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i 
( x P y )  e.  i  <->  A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I ) )
14 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( z T x )  e.  i  <->  ( z T x )  e.  I ) )
15 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  (
( x T z )  e.  i  <->  ( x T z )  e.  I ) )
1614, 15anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  (
( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i )  <->  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) )
1716ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i )  <->  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) )
1813, 17anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) )  <->  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )
1918raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e.  i 
( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) )  <->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )
2011, 19anbi12d 691 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( (
z T x )  e.  i  /\  (
x T z )  e.  i ) ) )  <->  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
2120elrab 2936 . . 3  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  e.  ~P B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
22 3anass 938 . . 3  |-  ( ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  B  /\  ( Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
2310, 21, 223bitr4i 268 . 2  |-  ( I  e.  { i  e. 
~P B  |  ( Z  e.  i  /\  A. x  e.  i  ( A. y  e.  i  ( x P y )  e.  i  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  i  /\  ( x T z )  e.  i ) ) ) }  <->  ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  (
( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) )
246, 23syl6bb 252 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  (IdlNEW `  R
)  <->  ( I  C_  B  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x P y )  e.  I  /\  A. z  e.  B  ( ( z T x )  e.  I  /\  ( x T z )  e.  I ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Ringcrg 15353  IdlNEWcidln 25546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-idlNEW 25547
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