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Theorem isidlc 25788
Description: The predicate "is an ideal of the commutative ring  R." (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
idlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
idlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
idlval.3  |-  X  =  ran  G
idlval.4  |-  Z  =  (GId `  G )
Assertion
Ref Expression
isidlc  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, z    z, X    x, I, y, z    x, X
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)    H( x, y, z)    X( y)    Z( x, y, z)

Proof of Theorem isidlc
StepHypRef Expression
1 crngorngo 25773 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  R  e.  RingOps )
2 idlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 idlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
4 idlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
5 idlval.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
62, 3, 4, 5isidl 25787 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
71, 6syl 15 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) ) )
8 ssel2 3209 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  C_  X  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  X )
92, 3, 4crngocom 25774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
x H z )  =  ( z H x ) )
109eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( x H z )  e.  I  <->  ( z H x )  e.  I ) )
1110biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
( z H x )  e.  I  -> 
( x H z )  e.  I ) )
12113expa 1151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z H x )  e.  I  -> 
( x H z )  e.  I ) )
1312pm4.71d 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z H x )  e.  I  <->  ( (
z H x )  e.  I  /\  (
x H z )  e.  I ) ) )
1413bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I )  <-> 
( z H x )  e.  I ) )
1514ralbidva 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I )  <->  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) )
1615anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  x  e.  X )  ->  (
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  ( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
178, 16sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
I  C_  X  /\  x  e.  I )
)  ->  ( ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  ( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
1817anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  I  C_  X )  /\  x  e.  I )  ->  (
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  ( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
1918ralbidva 2593 . . . . 5  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  I  C_  X )  ->  ( A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
2019adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
I  C_  X  /\  Z  e.  I )
)  ->  ( A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) )  <->  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) )
2120pm5.32da 622 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I )  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( (
I  C_  X  /\  Z  e.  I )  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) ) )
22 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( (
I  C_  X  /\  Z  e.  I )  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( ( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) ) )
23 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I 
( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) )  <-> 
( ( I  C_  X  /\  Z  e.  I
)  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
z H x )  e.  I ) ) )
2421, 22, 233bitr4g 279 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( I 
C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
( z H x )  e.  I  /\  ( x H z )  e.  I ) ) )  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  (
z H x )  e.  I ) ) ) )
257, 24bitrd 244 1  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( I  e.  ( Idl `  R
)  <->  ( I  C_  X  /\  Z  e.  I  /\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x G y )  e.  I  /\  A. z  e.  X  ( z H x )  e.  I ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   ran crn 4727   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163  GIdcgi 20907   RingOpscrngo 21095  CRingOpsccring 25768   Idlcidl 25780
This theorem is referenced by:  prnc  25840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-ov 5903  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-rngo 21096  df-com2 21131  df-crngo 25769  df-idl 25783
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