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Theorem isinf 7076
Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isinf  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
Distinct variable group:    x, A, n

Proof of Theorem isinf
Dummy variables  f  m  y  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x 
~~  n  <->  x  ~~  (/) ) )
21anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) ) )
32exbidv 1612 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
)  <->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  (/) ) ) )
4 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  m ) )
54anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <-> 
( x  C_  A  /\  x  ~~  m ) ) )
65exbidv 1612 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
)  <->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  m ) ) )
7 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y  n  =  suc  m
8 nfvd 1606 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  F/ y ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
9 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
109adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( x  C_  A  <->  y  C_  A
) )
11 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  n  <->  y  ~~  n ) )
12 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( y  ~~  n  <->  y 
~~  suc  m )
)
1311, 12sylan9bbr 681 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( x  ~~  n  <->  y  ~~  suc  m ) )
1410, 13anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) )
1514ex 423 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( x  =  y  ->  ( ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
167, 8, 15cbvexd 1949 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
17 0ss 3483 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
18 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
1918enref 6894 . . . . . 6  |-  (/)  ~~  (/)
20 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
21 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
~~  (/)  <->  (/)  ~~  (/) ) )
2220, 21anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  ~~  (/) ) ) )
2318, 22spcev 2875 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  (/)  ~~  (/) )  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) )
2417, 19, 23mp2an 653 . . . . 5  |-  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) )
2524a1i 10 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) )
26 ssdif0 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  x  <->  ( A  \  x )  =  (/) )
27 eqss 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  <->  ( x  C_  A  /\  A  C_  x ) )
28 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  m  <->  A  ~~  m ) )
2928biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  A  /\  x  ~~  m )  ->  A  ~~  m )
30 rspe 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  E. m  e.  om  A  ~~  m )
3129, 30sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  =  A  /\  x  ~~  m ) )  ->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
32 isfi 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
3331, 32sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  =  A  /\  x  ~~  m ) )  ->  A  e.  Fin )
3433expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  A  /\  x  ~~  m )  -> 
( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
)
3527, 34sylanbr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  A  C_  x )  /\  x  ~~  m
)  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin ) )
3635ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  x )  -> 
( x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
) )
3726, 36sylan2br 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  A  /\  ( A  \  x
)  =  (/) )  -> 
( x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
) )
3837expcom 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  x )  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  ->  (
x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin ) ) ) )
39383impd 1165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  A  e.  Fin ) )
4039com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  (
( A  \  x
)  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
4140con3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  =  (/) ) )
42 bren 6871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
~~  m  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> m )
43 neq0 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( A 
\  x ) )
44 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  z  e.  A )
4544snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  { z }  C_  A )
46 unss 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  <->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  A )
4746biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  ->  ( x  u.  { z } ) 
C_  A )
4845, 47sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  x ) )  -> 
( x  u.  {
z } )  C_  A )
4948ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  C_  A
)
50 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  z  e. 
_V
51 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  m  e. 
_V
5250, 51f1osn 5513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { <. z ,  m >. } : { z } -1-1-onto-> { m }
5352jctr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : x -1-1-onto-> m  ->  ( f : x -1-1-onto-> m  /\  { <. z ,  m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) )
54 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  -.  z  e.  x )
55 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
5654, 55sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  (
x  i^i  { z } )  =  (/) )
57 nnord 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
58 orddisj 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  m  ->  ( m  i^i  { m } )  =  (/) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  om  ->  (
m  i^i  { m } )  =  (/) )
6056, 59anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  x )  /\  m  e.  om )  ->  ( ( x  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  (
m  i^i  { m } )  =  (/) ) )
61 f1oun 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  { <. z ,  m >. } : {
z } -1-1-onto-> { m } )  /\  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  /\  (
m  i^i  { m } )  =  (/) ) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } ) )
6253, 60, 61syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  ( z  e.  ( A  \  x )  /\  m  e.  om ) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } ) )
63 df-suc 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  m  =  ( m  u. 
{ m } )
64 f1oeq3 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( suc  m  =  ( m  u.  { m }
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  {
m } ) ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  {
m } ) )
66 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
67 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  { <. z ,  m >. }  e.  _V
6866, 67unex 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  u.  { <. z ,  m >. } )  e. 
_V
69 f1oeq1 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } )  ->  (
g : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m ) )
7068, 69spcev 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  ->  E. g 
g : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m )
71 bren 6871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  u.  { z } )  ~~  suc  m 
<->  E. g  g : ( x  u.  {
z } ) -1-1-onto-> suc  m
)
7270, 71sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  ->  ( x  u.  { z } ) 
~~  suc  m )
7365, 72sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
7462, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  ( z  e.  ( A  \  x )  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
7574adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
76 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
77 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { z }  e.  _V
7876, 77unex 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  u.  { z } )  e.  _V
79 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  A ) )
80 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  ~~  suc  m  <->  ( x  u. 
{ z } ) 
~~  suc  m )
)
8179, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m )  <->  ( (
x  u.  { z } )  C_  A  /\  ( x  u.  {
z } )  ~~  suc  m ) ) )
8278, 81spcev 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  u.  {
z } )  C_  A  /\  ( x  u. 
{ z } ) 
~~  suc  m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) )
8349, 75, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) )
8483expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  x )  /\  m  e.  om )  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  (
m  e.  om  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8685exlimiv 1666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  z  e.  ( A  \  x )  ->  ( m  e. 
om  ->  ( ( x 
C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) ) )
8743, 86sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  ->  (
m  e.  om  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8887com13 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  (
m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8988expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : x -1-1-onto-> m  ->  ( x 
C_  A  ->  (
m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
9089exlimiv 1666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> m  ->  ( x  C_  A  ->  ( m  e. 
om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
9142, 90sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
~~  m  ->  (
x  C_  A  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
9291com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  A  ->  (
x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
93923imp 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
9441, 93syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) )
95943expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m )  -> 
( m  e.  om  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
9695exlimiv 1666 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  m
)  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) ) )
9796com3l 75 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  m )  ->  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
983, 6, 16, 25, 97finds2 4684 . . 3  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n ) ) )
9998com12 27 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( n  e.  om  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) ) )
10099ralrimiv 2625 1  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   Ord word 4391   suc csuc 4394   omcom 4656   -1-1-onto->wf1o 5254    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fineqvlem  7077  isinffi  7625  domtriomlem  8068  ishashinf  23389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-en 6864  df-fin 6867
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