MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinf Structured version   Unicode version

Theorem isinf 7325
Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isinf  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
Distinct variable group:    x, A, n

Proof of Theorem isinf
Dummy variables  f  m  y  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x 
~~  n  <->  x  ~~  (/) ) )
21anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) ) )
32exbidv 1637 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
)  <->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  (/) ) ) )
4 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  m ) )
54anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <-> 
( x  C_  A  /\  x  ~~  m ) ) )
65exbidv 1637 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
)  <->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  m ) ) )
7 sseq1 3371 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
87adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( x  C_  A  <->  y  C_  A
) )
9 breq1 4218 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  n  <->  y  ~~  n ) )
10 breq2 4219 . . . . . . 7  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( y  ~~  n  <->  y 
~~  suc  m )
)
119, 10sylan9bbr 683 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( x  ~~  n  <->  y  ~~  suc  m ) )
128, 11anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) )
1312cbvexdva 1996 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
14 0ss 3658 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
15 0ex 4342 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
1615enref 7143 . . . . . 6  |-  (/)  ~~  (/)
17 sseq1 3371 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
18 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
~~  (/)  <->  (/)  ~~  (/) ) )
1917, 18anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  ~~  (/) ) ) )
2015, 19spcev 3045 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  (/)  ~~  (/) )  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) )
2114, 16, 20mp2an 655 . . . . 5  |-  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) )
23 ssdif0 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  x  <->  ( A  \  x )  =  (/) )
24 eqss 3365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  <->  ( x  C_  A  /\  A  C_  x ) )
25 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  m  <->  A  ~~  m ) )
2625biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  A  /\  x  ~~  m )  ->  A  ~~  m )
27 rspe 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  E. m  e.  om  A  ~~  m )
2826, 27sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  =  A  /\  x  ~~  m ) )  ->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
29 isfi 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
3028, 29sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  =  A  /\  x  ~~  m ) )  ->  A  e.  Fin )
3130expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  A  /\  x  ~~  m )  -> 
( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
)
3224, 31sylanbr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  A  C_  x )  /\  x  ~~  m
)  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin ) )
3332ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  x )  -> 
( x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
) )
3423, 33sylan2br 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  A  /\  ( A  \  x
)  =  (/) )  -> 
( x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
) )
3534expcom 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  x )  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  ->  (
x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin ) ) ) )
36353impd 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  A  e.  Fin ) )
3736com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  (
( A  \  x
)  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
3837con3d 128 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  =  (/) ) )
39 bren 7120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
~~  m  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> m )
40 neq0 3640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( A 
\  x ) )
41 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  z  e.  A )
4241snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  { z }  C_  A )
43 unss 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  <->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  A )
4443biimpi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  ->  ( x  u.  { z } ) 
C_  A )
4542, 44sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  x ) )  -> 
( x  u.  {
z } )  C_  A )
4645ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  C_  A
)
47 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  z  e. 
_V
48 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  m  e. 
_V
4947, 48f1osn 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { <. z ,  m >. } : { z } -1-1-onto-> { m }
5049jctr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : x -1-1-onto-> m  ->  ( f : x -1-1-onto-> m  /\  { <. z ,  m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) )
51 eldifn 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  -.  z  e.  x )
52 disjsn 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
5351, 52sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  (
x  i^i  { z } )  =  (/) )
54 nnord 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
55 orddisj 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  m  ->  ( m  i^i  { m } )  =  (/) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  om  ->  (
m  i^i  { m } )  =  (/) )
5753, 56anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  x )  /\  m  e.  om )  ->  ( ( x  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  (
m  i^i  { m } )  =  (/) ) )
58 f1oun 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  { <. z ,  m >. } : {
z } -1-1-onto-> { m } )  /\  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  /\  (
m  i^i  { m } )  =  (/) ) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } ) )
5950, 57, 58syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  ( z  e.  ( A  \  x )  /\  m  e.  om ) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } ) )
60 df-suc 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  m  =  ( m  u. 
{ m } )
61 f1oeq3 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( suc  m  =  ( m  u.  { m }
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  {
m } ) ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  {
m } ) )
63 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
64 snex 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  { <. z ,  m >. }  e.  _V
6563, 64unex 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  u.  { <. z ,  m >. } )  e. 
_V
66 f1oeq1 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } )  ->  (
g : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m ) )
6765, 66spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  ->  E. g 
g : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m )
68 bren 7120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  u.  { z } )  ~~  suc  m 
<->  E. g  g : ( x  u.  {
z } ) -1-1-onto-> suc  m
)
6967, 68sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  ->  ( x  u.  { z } ) 
~~  suc  m )
7062, 69sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
7159, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  ( z  e.  ( A  \  x )  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
7271adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
73 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
74 snex 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { z }  e.  _V
7573, 74unex 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  u.  { z } )  e.  _V
76 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  A ) )
77 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  ~~  suc  m  <->  ( x  u. 
{ z } ) 
~~  suc  m )
)
7876, 77anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m )  <->  ( (
x  u.  { z } )  C_  A  /\  ( x  u.  {
z } )  ~~  suc  m ) ) )
7975, 78spcev 3045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  u.  {
z } )  C_  A  /\  ( x  u. 
{ z } ) 
~~  suc  m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) )
8046, 72, 79syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) )
8180expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  x )  /\  m  e.  om )  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
8281ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  (
m  e.  om  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8382exlimiv 1645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  z  e.  ( A  \  x )  ->  ( m  e. 
om  ->  ( ( x 
C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) ) )
8440, 83sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  ->  (
m  e.  om  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8584com13 77 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  (
m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8685expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : x -1-1-onto-> m  ->  ( x 
C_  A  ->  (
m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
8786exlimiv 1645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> m  ->  ( x  C_  A  ->  ( m  e. 
om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
8839, 87sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
~~  m  ->  (
x  C_  A  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
8988com12 30 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  A  ->  (
x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
90893imp 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
9138, 90syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) )
92913expia 1156 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m )  -> 
( m  e.  om  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
9392exlimiv 1645 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  m
)  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) ) )
9493com3l 78 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  m )  ->  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
953, 6, 13, 22, 94finds2 4876 . . 3  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n ) ) )
9695com12 30 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( n  e.  om  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) ) )
9796ralrimiv 2790 1  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4215   Ord word 4583   suc csuc 4586   omcom 4848   -1-1-onto->wf1o 5456    ~~ cen 7109   Fincfn 7112
This theorem is referenced by:  fineqvlem  7326  isinffi  7884  domtriomlem  8327  ishashinf  24164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-en 7113  df-fin 7116
  Copyright terms: Public domain W3C validator