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Theorem isinf 7281
Description: Any set that is not finite is literally infinite, in the sense that it contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (It cannot be proven that the set has countably infinite subsets unless AC is invoked.) The proof does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isinf  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
Distinct variable group:    x, A, n

Proof of Theorem isinf
Dummy variables  f  m  y  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( n  =  (/)  ->  ( x 
~~  n  <->  x  ~~  (/) ) )
21anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) ) )
32exbidv 1633 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
)  <->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  (/) ) ) )
4 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  m ) )
54anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <-> 
( x  C_  A  /\  x  ~~  m ) ) )
65exbidv 1633 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
)  <->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  m ) ) )
7 sseq1 3329 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( x  C_  A  <->  y  C_  A
) )
9 breq1 4175 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  n  <->  y  ~~  n ) )
10 breq2 4176 . . . . . . 7  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( y  ~~  n  <->  y 
~~  suc  m )
)
119, 10sylan9bbr 682 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( x  ~~  n  <->  y  ~~  suc  m ) )
128, 11anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( n  =  suc  m  /\  x  =  y
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) )
1312cbvexdva 2061 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
14 0ss 3616 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
15 0ex 4299 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
1615enref 7099 . . . . . 6  |-  (/)  ~~  (/)
17 sseq1 3329 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
18 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
~~  (/)  <->  (/)  ~~  (/) ) )
1917, 18anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) )  <->  ( (/)  C_  A  /\  (/)  ~~  (/) ) ) )
2015, 19spcev 3003 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  (/)  ~~  (/) )  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) )
2114, 16, 20mp2an 654 . . . . 5  |-  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  (/) ) )
23 ssdif0 3646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  x  <->  ( A  \  x )  =  (/) )
24 eqss 3323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  <->  ( x  C_  A  /\  A  C_  x ) )
25 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~~  m  <->  A  ~~  m ) )
2625biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  A  /\  x  ~~  m )  ->  A  ~~  m )
27 rspe 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  om  /\  A  ~~  m )  ->  E. m  e.  om  A  ~~  m )
2826, 27sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  =  A  /\  x  ~~  m ) )  ->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
29 isfi 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  A  ~~  m
)
3028, 29sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  =  A  /\  x  ~~  m ) )  ->  A  e.  Fin )
3130expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  A  /\  x  ~~  m )  -> 
( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
)
3224, 31sylanbr 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  A  C_  x )  /\  x  ~~  m
)  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin ) )
3332ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  x )  -> 
( x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
) )
3423, 33sylan2br 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  A  /\  ( A  \  x
)  =  (/) )  -> 
( x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin )
) )
3534expcom 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  x )  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  ->  (
x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  A  e.  Fin ) ) ) )
36353impd 1167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  =  (/)  ->  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  A  e.  Fin ) )
3736com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  (
( A  \  x
)  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
3837con3d 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  =  (/) ) )
39 bren 7076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
~~  m  <->  E. f 
f : x -1-1-onto-> m )
40 neq0 3598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  ( A 
\  x ) )
41 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  z  e.  A )
4241snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  { z }  C_  A )
43 unss 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  <->  ( x  u. 
{ z } ) 
C_  A )
4443biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  ->  ( x  u.  { z } ) 
C_  A )
4542, 44sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  x ) )  -> 
( x  u.  {
z } )  C_  A )
4645ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  C_  A
)
47 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  z  e. 
_V
48 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  m  e. 
_V
4947, 48f1osn 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { <. z ,  m >. } : { z } -1-1-onto-> { m }
5049jctr 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : x -1-1-onto-> m  ->  ( f : x -1-1-onto-> m  /\  { <. z ,  m >. } : { z } -1-1-onto-> { m } ) )
51 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  -.  z  e.  x )
52 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  x )
5351, 52sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  (
x  i^i  { z } )  =  (/) )
54 nnord 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
55 orddisj 4579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Ord  m  ->  ( m  i^i  { m } )  =  (/) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  om  ->  (
m  i^i  { m } )  =  (/) )
5753, 56anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  x )  /\  m  e.  om )  ->  ( ( x  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  (
m  i^i  { m } )  =  (/) ) )
58 f1oun 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  { <. z ,  m >. } : {
z } -1-1-onto-> { m } )  /\  ( ( x  i^i  { z } )  =  (/)  /\  (
m  i^i  { m } )  =  (/) ) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } ) )
5950, 57, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  ( z  e.  ( A  \  x )  /\  m  e.  om ) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } ) )
60 df-suc 4547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  suc  m  =  ( m  u. 
{ m } )
61 f1oeq3 5626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( suc  m  =  ( m  u.  { m }
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  {
m } ) ) )
6260, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  {
m } ) )
63 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  f  e. 
_V
64 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  { <. z ,  m >. }  e.  _V
6563, 64unex 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  u.  { <. z ,  m >. } )  e. 
_V
66 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  m >. } )  ->  (
g : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m  <->  ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m ) )
6765, 66spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  ->  E. g 
g : ( x  u.  { z } ) -1-1-onto-> suc  m )
68 bren 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  u.  { z } )  ~~  suc  m 
<->  E. g  g : ( x  u.  {
z } ) -1-1-onto-> suc  m
)
6967, 68sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> suc  m  ->  ( x  u.  { z } ) 
~~  suc  m )
7062, 69sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  m >. } ) : ( x  u. 
{ z } ) -1-1-onto-> ( m  u.  { m } )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
7159, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : x -1-1-onto-> m  /\  ( z  e.  ( A  \  x )  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
7271adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  (
x  u.  { z } )  ~~  suc  m )
73 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
74 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { z }  e.  _V
7573, 74unex 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  u.  { z } )  e.  _V
76 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  C_  A 
<->  ( x  u.  {
z } )  C_  A ) )
77 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( y  ~~  suc  m  <->  ( x  u. 
{ z } ) 
~~  suc  m )
)
7876, 77anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m )  <->  ( (
x  u.  { z } )  C_  A  /\  ( x  u.  {
z } )  ~~  suc  m ) ) )
7975, 78spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  u.  {
z } )  C_  A  /\  ( x  u. 
{ z } ) 
~~  suc  m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) )
8046, 72, 79syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  /\  ( z  e.  ( A  \  x
)  /\  m  e.  om ) )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) )
8180expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  x )  /\  m  e.  om )  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
8281ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( A  \  x )  ->  (
m  e.  om  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8382exlimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  z  e.  ( A  \  x )  ->  ( m  e. 
om  ->  ( ( x 
C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) ) )
8440, 83sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  ->  (
m  e.  om  ->  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8584com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  A  /\  f : x -1-1-onto-> m )  ->  (
m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
8685expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : x -1-1-onto-> m  ->  ( x 
C_  A  ->  (
m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
8786exlimiv 1641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> m  ->  ( x  C_  A  ->  ( m  e. 
om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
8839, 87sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
~~  m  ->  (
x  C_  A  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
8988com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  A  ->  (
x  ~~  m  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  ( A  \  x )  =  (/)  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) ) )
90893imp 1147 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  ( A  \  x
)  =  (/)  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) )
9138, 90syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m  /\  m  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) )
92913expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  A  /\  x  ~~  m )  -> 
( m  e.  om  ->  ( -.  A  e. 
Fin  ->  E. y ( y 
C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
9392exlimiv 1641 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  m
)  ->  ( m  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y
( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m
) ) ) )
9493com3l 77 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  m )  ->  E. y ( y  C_  A  /\  y  ~~  suc  m ) ) ) )
953, 6, 13, 22, 94finds2 4832 . . 3  |-  ( n  e.  om  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n ) ) )
9695com12 29 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( n  e.  om  ->  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) ) )
9796ralrimiv 2748 1  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   Ord word 4540   suc csuc 4543   omcom 4804   -1-1-onto->wf1o 5412    ~~ cen 7065   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  fineqvlem  7282  isinffi  7835  domtriomlem  8278  ishashinf  24112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-en 7069  df-fin 7072
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