Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isinffi Unicode version

Theorem isinffi 7625
 Description: An infinite set contains subsets equinumerous to every finite set. Extension of isinf 7076 from finite ordinals to all finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
isinffi
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem isinffi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ficardom 7594 . . 3
2 isinf 7076 . . 3
3 breq2 4027 . . . . . 6
43anbi2d 684 . . . . 5
54exbidv 1612 . . . 4
65rspcva 2882 . . 3
71, 2, 6syl2anr 464 . 2
8 simprr 733 . . . . . . . 8
9 ficardid 7595 . . . . . . . . 9
109ad2antlr 707 . . . . . . . 8
11 entr 6913 . . . . . . . 8
128, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7
13 ensym 6910 . . . . . . 7
1412, 13syl 15 . . . . . 6
15 bren 6871 . . . . . 6
1614, 15sylib 188 . . . . 5
17 f1of1 5471 . . . . . . . . 9
1817adantl 452 . . . . . . . 8
19 simplrl 736 . . . . . . . 8
20 f1ss 5442 . . . . . . . 8
2118, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . 7
2221ex 423 . . . . . 6
2322eximdv 1608 . . . . 5
2416, 23mpd 14 . . . 4
2524ex 423 . . 3
2625exlimdv 1664 . 2
277, 26mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543   wss 3152   class class class wbr 4023  com 4656  wf1 5252  wf1o 5254  cfv 5255   cen 6860  cfn 6863  ccrd 7568 This theorem is referenced by:  fidomtri  7626  hashdom  11361  erdsze2lem1  23734  eldioph2lem2  26840 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
 Copyright terms: Public domain W3C validator