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Theorem isinob 25965
Description: The predicate "are the initial objects of a category". (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isinob.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
isinob.2  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
isinob.3  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
isinob.4  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
isinob  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( 
InitObj  `  T )  =  { z  e.  O  |  A. o  e.  O  E! m  e.  M  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) } )
Distinct variable groups:    m, o,
z, T    m, M    z, O
Allowed substitution hints:    C( z, m, o)    D( z, m, o)    M( z, o)    O( m, o)

Proof of Theorem isinob
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( id_ `  T )  e.  _V
21dmex 4957 . . . 4  |-  dom  ( id_ `  T )  e. 
_V
3 rabexg 4180 . . . 4  |-  ( dom  ( id_ `  T
)  e.  _V  ->  { z  e.  dom  ( id_ `  T )  | 
A. o  e.  dom  ( id_ `  T ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o ) }  e.  _V )
42, 3mp1i 11 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  { z  e.  dom  ( id_ `  T )  | 
A. o  e.  dom  ( id_ `  T ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o ) }  e.  _V )
5 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  T  ->  ( id_ `  x )  =  ( id_ `  T
) )
65dmeqd 4897 . . . . 5  |-  ( x  =  T  ->  dom  ( id_ `  x )  =  dom  ( id_ `  T ) )
76eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( x  =  T  ->  (
o  e.  dom  ( id_ `  x )  <->  o  e.  dom  ( id_ `  T
) ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  T  ->  ( dom_ `  x )  =  ( dom_ `  T
) )
98fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  (
( dom_ `  x ) `  m )  =  ( ( dom_ `  T
) `  m )
)
109eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( dom_ `  x
) `  m )  =  z  <->  ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  T  ->  ( cod_ `  x )  =  ( cod_ `  T
) )
1211fveq1d 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  T  ->  (
( cod_ `  x ) `  m )  =  ( ( cod_ `  T
) `  m )
)
1312eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( cod_ `  x
) `  m )  =  o  <->  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) )
1410, 13anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  T  ->  (
( ( ( dom_ `  x ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  x
) `  m )  =  o )  <->  ( (
( dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) ) )
158dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  T  ->  dom  ( dom_ `  x )  =  dom  ( dom_ `  T
) )
1614, 15reubidvag 25038 . . . . . . 7  |-  ( x  =  T  ->  ( E! m  e.  dom  ( dom_ `  x )
( ( ( dom_ `  x ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  x
) `  m )  =  o )  <->  E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) ) )
177, 16imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  T  ->  (
( o  e.  dom  ( id_ `  x )  ->  E! m  e. 
dom  ( dom_ `  x
) ( ( (
dom_ `  x ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  x ) `  m
)  =  o ) )  <->  ( o  e. 
dom  ( id_ `  T
)  ->  E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) ) ) )
1817ralbidv2 2578 . . . . 5  |-  ( x  =  T  ->  ( A. o  e.  dom  ( id_ `  x ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  x )
( ( ( dom_ `  x ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  x
) `  m )  =  o )  <->  A. o  e.  dom  ( id_ `  T
) E! m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) ) )
196, 18rabeqbidv 2796 . . . 4  |-  ( x  =  T  ->  { z  e.  dom  ( id_ `  x )  |  A. o  e.  dom  ( id_ `  x ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  x
) ( ( (
dom_ `  x ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  x ) `  m
)  =  o ) }  =  { z  e.  dom  ( id_ `  T )  |  A. o  e.  dom  ( id_ `  T ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) } )
20 df-inob 25964 . . . 4  |-  InitObj  =  ( x  e.  Cat OLD  |->  { z  e.  dom  ( id_ `  x )  |  A. o  e. 
dom  ( id_ `  x
) E! m  e. 
dom  ( dom_ `  x
) ( ( (
dom_ `  x ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  x ) `  m
)  =  o ) } )
2119, 20fvmptg 5616 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\ 
{ z  e.  dom  ( id_ `  T )  |  A. o  e. 
dom  ( id_ `  T
) E! m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) }  e.  _V )  ->  (  InitObj  `  T )  =  { z  e.  dom  ( id_ `  T )  |  A. o  e. 
dom  ( id_ `  T
) E! m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) } )
224, 21mpdan 649 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( 
InitObj  `  T )  =  { z  e.  dom  ( id_ `  T )  |  A. o  e. 
dom  ( id_ `  T
) E! m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) } )
23 isinob.1 . . . . 5  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
2423eqcomi 2300 . . . 4  |-  dom  ( id_ `  T )  =  O
2524a1i 10 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  dom  ( id_ `  T
)  =  O )
2625eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( o  e.  dom  ( id_ `  T )  <->  o  e.  O ) )
27 isinob.3 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
2827eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom_ `  T )  =  D
2928a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
dom_ `  T )  =  D )
3029fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( dom_ `  T
) `  m )  =  ( D `  m ) )
3130eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  m )  =  z  <->  ( D `  m )  =  z ) )
32 isinob.4 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
3332eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( cod_ `  T )  =  C
3433a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  (
cod_ `  T )  =  C )
3534fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  ( C `  m ) )
3635eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o  <->  ( C `  m )  =  o ) )
3731, 36anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o )  <->  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) ) )
38 isinob.2 . . . . . . . 8  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
3938eqcomi 2300 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  M
4039a1i 10 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  dom  ( dom_ `  T
)  =  M )
4137, 40reubidvag 25038 . . . . 5  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( E! m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o )  <->  E! m  e.  M  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) ) )
4226, 41imbi12d 311 . . . 4  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( o  e.  dom  ( id_ `  T )  ->  E! m  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( (
dom_ `  T ) `  m )  =  z  /\  ( ( cod_ `  T ) `  m
)  =  o ) )  <->  ( o  e.  O  ->  E! m  e.  M  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) ) ) )
4342ralbidv2 2578 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( A. o  e.  dom  ( id_ `  T ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o )  <->  A. o  e.  O  E! m  e.  M  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) ) )
4425, 43rabeqbidv 2796 . 2  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  { z  e.  dom  ( id_ `  T )  | 
A. o  e.  dom  ( id_ `  T ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( dom_ `  T ) `  m
)  =  z  /\  ( ( cod_ `  T
) `  m )  =  o ) }  =  { z  e.  O  |  A. o  e.  O  E! m  e.  M  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) } )
4522, 44eqtrd 2328 1  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( 
InitObj  `  T )  =  { z  e.  O  |  A. o  e.  O  E! m  e.  M  ( ( D `  m )  =  z  /\  ( C `  m )  =  o ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   {crab 2560   _Vcvv 2801   dom cdm 4705   ` cfv 5271   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817    Cat
OLD ccatOLD 25855    InitObj ciobj 25963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-inob 25964
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